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对数积分

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对数积分li(x)是一个特殊函数。它出现在物理学的问题中,在数论中也有重要性,主要出現在與質數定理黎曼猜想的相關理論之中。

对数积分

积分表示法[编辑]

对数积分有一个积分的表示法,对所有的正实数x\ne 1都有定义:

 {\rm li} (x) =   \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \; .

在这里,ln表示自然对数。函数1/ln (t)在t = 1处有一个奇点,当x > 1时,这个积分只能用柯西主值的概念来解释:

 {\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln (t)} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \right) \; .

特殊值與欧拉对数积分[编辑]

由於這個積分在x趨近於0時,值會趨近於負無窮大,有些數學家為了避免麻煩,常會選擇另外一個相似的定義,欧拉对数积分定义为:

 {\rm Li}(x) = {\rm li}(x) - {\rm li}(2) \,

 {\rm Li} (x) = \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln t} \,

函数li(x)有一個正根,它出现在x ≈ 1.45136 92348 ...。这个数称为Ramanujan-Soldner常数

 {\rm li} (2) = -(\Gamma\left(0,-\ln 2\right) + i\,\pi) \sim 1.04516 37801 17492 78484 45888 89194 613136 522615 578151

其中\Gamma\left(a,x\right)不完全伽玛函数

级数表示法[编辑]

函数li(x)与指数积分Ei(x)有以下的关系:

\hbox{li}(x)=\hbox{Ei}(\ln(x)) , \,\!

其中x > 1。这个等式提供了li(x)的一个级数表示法:

 {\rm li} (e^{u}) = \hbox{Ei}(u) = 
\gamma + \ln u + \sum_{n=1}^{\infty} {u^{n}\over n \cdot n!} 
\quad {\rm for} \; u \ne 0 \; ,

其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是欧拉-马歇罗尼常数。一个收敛得更快的级数,是:


 {\rm li} (x) =
 \gamma
 + \ln \ln x
 + \sqrt{x} \sum_{n=1}^{\infty}
                \frac{ (-1)^{n-1} (\ln x)^n}  {n! \, 2^{n-1}}
                \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{2k+1} .

渐近展开式[编辑]

x → ∞,函数有以下的渐进表现:

 {\rm li} (x) = \mathcal{O} \left( {x\over \ln (x)} \right) \; .

其中\mathcal{O}大O符号。完整的渐近展开式为:

解析失败 (未知函数'\infnty'): {\rm li} (x) = \frac{x}{\ln x} \sum_{k=0}^{\infnty\frac{k!}{(\ln x)^k}


 \frac{{\rm li} (x)}{x/\ln x}  =  1 + \frac{1}{\ln x} + \frac{2}{(\ln x)^2} + \frac{6}{(\ln x)^3} + \cdots.

注意,作为渐近展开式,这个级数是发散的:只有级数前面有限个项才是较好的估计。这个展开式可从指数积分的渐近展开式直接推出。

数论中的重要性[编辑]

对数积分在数论中十分重要,出现在小于某个整数的素数个数的估计中。例如,質數定理表明:

\pi(x)\sim\operatorname{Li}(x)

其中π(x)是小于或等于x的素数的个数。

参见[编辑]

参考文献[编辑]