对称双线性形式

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对称双线性形式是在向量空间上的对称双线性形式。它们在正交极性和二次曲面的研究中非常重要。

定义[编辑]

V 在域 K 上的 n 维向量空间。映射 B : V\times V\rightarrow K:(u,v)\rightarrow B(u,v) 是这个空间上的对称双线性形式,如果:

  • B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v \in V
  • B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\  \quad \forall u,v,w \in V
  • B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w \in V

最后两个公理只蕴涵在第一个参数中的线性,但是第一个公理直接蕴涵了在第二个参数中的线性。

矩阵表示[编辑]

C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}V 的基。定义 n\times n 矩阵 A 通过 A_{ij}=B(e_{i},e_{j}) \,。矩阵 A 是对称的完全由于双线性形式的对称性。如果 n\times 1 矩阵 x 表示关于这个基的一个向量 v,类似的 y 表示 w,则 B(v,w) \, 给出为:

x^{T} A y=y^{T} A x \,

假设 C'V 的另一个基,有着可逆的 n\times n 矩阵 S 使得: \begin{bmatrix}e'_{1} & \cdots & e'_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}e_{1} & \cdots & e_{n}\end{bmatrix}S。现在对称双线性形式的新矩阵表示给出为

A' =S^{T} A S \,

正交性和奇异性[编辑]

对称双线性形式总是自反的。定义两个向量 vw 是关于双线性形式 B 是正交的,如果 B(v,w)=0,由于自反性它等价于 B(w,v)=0

双线性形式 B是正交于 V 中所有其他向量的向量的集合。你可以轻易查出它是 V 的子空间。在使用关于特定基的矩阵表示 A 的时候,由 x 表示的 v 在根中,当且仅当

A x=0 \Longleftrightarrow x^{T} A=0.

矩阵 A 是奇异的,当且仅当根是不平凡的。

如果 WV 的子空间,则正交于 W 中所有向量的集合 W^{\perp} 也是子空间。当 B 的根是平凡的时候,W^{\perp} 的维度是 n − dim(W)。

正交基[编辑]

C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\} 关于 B 是正交的,当且仅当:

B(e_{i},e_{j})=0\ \forall i\neq j.

在域的特征不是2的时候,总存在正交基。这可以通过归纳法证明。

C 是正交的,当且仅当矩阵表示 A对角矩阵

西尔维斯特惯性定理与惯性指数[编辑]

一般情况下,西尔维斯特发现的惯性定理声称,在K有序域的时候,简化后的二次型的矩阵表示中的对角元素等于 0、正或负的数目独立于正交基的选择。后两个数被称为双线性形式的正、负惯性指数[1]

实数情况[编辑]

当工作于在实数上的空间的时候,可以走的远一点。 设 C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\} 是正交基。

我们定义一个新基 C'=\{e'_{1},\ldots,e'_{n}\}

e'_{i} = \left\{
\begin{matrix} 
e_{i} & \mbox{if } B(e_{i},e_{i})=0  \\ 
\frac{e_{i}}{\sqrt{B(e_{i},e_{i})}} & \mbox{if } B(e_{i},e_{i}) >0\\
\frac{e_{i}}{\sqrt{-B(e_{i},e_{i})}}& \mbox{if } B(e_{i},e_{i}) <0
\end{matrix}\right.

现在,新矩阵表示 A 将是在对角线上只有 0,1 和 -1 的对角矩阵。零将出现当且仅当根是非平凡的。

复数情况[编辑]

当工作于在复数之上的空间中的时候,可以相当容易的走的更远一点。 设 C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\} 是正交基。

我们定义新的基 C'=\{e'_{1},\ldots,e'_{n}\} :

e'_{i} = \left\{
\begin{matrix} 
e_{i} & \mbox{if }\; B(e_{i},e_{i})=0  \\ 
e_{i}/\sqrt{B(e_{i},e_{i})} & \mbox{if }\; B(e_{i},e_{i}) \neq 0\\
\end{matrix}\right.

现在新矩阵表示 A 将是在对角线上只有 0 和 1 的对角矩阵。零将出现当且仅当根是非平凡的。

正交极性[编辑]

B 是双线性形式,它带有不同于 2 的特征的域 K 上的空间 V 上的根。现在可以定义从 V 的所有子空间的集合 D(V) 到自身的映射:

\alpha:D(V)\rightarrow D(V) :W\mapsto W^{\perp}

这个映射是在投影空间 PG(W) 上的正交极性。反过来说,你可以证明所有正交极性可以用这种方式引出,并且带有平凡根的两个对称双线性形式引发同样的极化,当且仅当它们差一個标量乘法。


參考文獻[编辑]

  1. ^ [1]