对称群 (n次对称群)

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對稱群S4凯莱图

数学上,集合X上的对称群记作SX或Sym(X)。它的元素是所有XX自身的双射组成的群。由于恒等函数是双射,双射的反函数也是双射,并且两个双射的复合仍是双射,这个集合关于函数的复合成为群,即是置换群Sym(X)。两个函数的复合一般记作f o g,在置换群的表示里简记作fg

对称群在很多不同的数学领域中,都扮演了重要角色。包括:伽罗华理论、不变量理论、李群的表示理论和组合学等等。

有限置换群[编辑]

各种置换群中,有限集合上的置换群有着特殊的重要性。

X = {1,...,n},

X上的对称群是SnX上所有的排列构成了全部一一映射的集合,因此,Snn!个元素。对n > 2,Sn不是阿贝尔群。当且仅当n ≤ 4时,Sn可解群。对称群的子群称为置换群en:permutation group)。

置换的乘积[编辑]

对称群中,两个置换的乘积就是作为双射的复合,只不过省略了符号"o"。例如:

 f = (1\ 3)(4\ 5)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4\end{bmatrix}
 g = (1\ 2\ 5)(3\ 4)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{bmatrix}

f乘以g将1首先变换成3然后从3再变换到4; 2到2再到5; 3到1然后到2,如此类推。f乘以g是:

 fg = f\circ g = (1\ 4)(2\ 5\ 3)=\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 2 & 1 & 3\end{bmatrix}

容易证明长度为L =k·m轮换,的k次方会分解为k个长度为m的轮换。比如:

 (1~2~3~4~5~6)^2 = (1~3~5) (2~4~6) ~

对换[编辑]

对换指只交换集合中的两个元素而使其他元素仍变换到自身的置换,例如(1 3)。每个置换都能写成一系列对换的乘积。比如上例中的g = (1 2)(2 5)(3 4)。

由于g能被写成奇数个对换的乘积,g是一个奇置换。与此相反的,f是一个偶置换。

一个置换表达成对换乘积的方式不是唯一的,但每种表达方式中对换的个数的奇偶性不变,可以据此定义奇置换和偶置换。

两个偶置换的乘积是偶置换,两个奇置换的乘积是偶置换,奇置换和偶置换的乘积是奇置换,偶置换和奇置换的乘积是奇置换。于是可以定义置换的正負號(sign):

\operatorname{sgn}(f)=\left\{\begin{matrix} +1, & \mbox{if }f\mbox { is even} \\ -1, & \mbox{if }f \mbox{ is odd} \end{matrix}\right.

在这个定义下,

sgn: Sn → {+1,-1}

是一个群同态。({+1,-1}关于乘法构成群),这个同态的同态是所有的偶置换,称作n次交错群,记作An。它是Sn正规子群,有n! / 2个元素。

置换的正負號也可以定义为:

\operatorname{sgn}(f)=(-1)^{n-O(n)}

其中n-O(n)表示置换f轮换指数,O(n)表示置换f轨道(orbit)数。群Sn是An和由一個單一對換生成的任何子群的半直積

轮换[编辑]

轮换指一种置换f,使得对集合{1,...,n}中的某个xx, f(x), f2(x), ..., fk(x) = xf作用下不映射到自身的所有元素。比如说,以下的置换h

h = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 1 & 3 & 5\end{bmatrix}

就是一个轮换。因为h(1) = 4, h(3) = 1,h(4) = 3。2,5不变。我们将这个轮换记作(1 4 3),它的长度是3。轮换的阶数等于它的长度。如果两个轮换移动的元素皆不相同,则称它们不交。不交的轮换是可交换的,例如(3 1 4)(2 5 6) = (2 5 6)(3 1 4)。每个Sn中的元素都可以写成若干个互不相交的轮换的乘积。如果不计轮换的排列次序,这种表示是唯一的。

共轭类[编辑]

Sn共轭类是对于置换轮换表达的结构来说的。两个置换共轭,当且仅当在它们的轮换表达中,轮换的数量以及长度都相等。比如说,在S5中, (1 2 3)(4 5)与(1 4 3)(2 5)共轭,但不与(1 2)(4 5)共轭。

凱萊定理[编辑]

凱萊定理:任意群G都与某个变换群同构。

推论:任意有限群都与某个置换群同构。