导集

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数学特别是点集拓扑学中,拓扑空间的子集 S导集导出集合)是 S 的所有极限点的集合。它通常指示为 S′

这个概念是格奥尔格·康托尔在1872年介入的,他开发集合论很大程度上就是为了研究在实直线上的导出集合。

导集公理[编辑]

导集是拓扑学的基础概念之一。可以用来定义拓扑空间。 给定集合X,运算d:P(X) → P(X)称为导集运算,当且仅当d满足以下导集公理

  • D1:d(∅) = ∅。
  • D2:∀A⊆X,d(A) = d(d(A))
  • D3:∀A⊆X以及x∈X,d(A) = d(A - {x})
  • D4:∀A,B⊆X,d(A∩B) = d(A)∩d(B)

从导集出发可以定义各种拓扑的基础概念:

  • 闭集:X的子集A是闭集,当且仅当d(A)⊆A。(从此处可以看到和闭集公理的等价性,从而可以等价地定义拓扑空间。)
  • 同胚:拓扑空间T1(X11),T2(X22)同胚,当且仅当存在双射f:,使得∀A⊆X1,f(d(A)) = d(f(A))。

相关概念[编辑]

聚点
d(A)中的点称为A的聚点

性质[编辑]

  • S,T⊆X,若S∩T=∅,S∩d(T)=∅,d(S)∩T=∅。则称S和T是分离的。(注意:d(S)∩d(T)不一定为∅)。
  • 集合 S 被定义为完美的,如果 S = S′。等价地说,完美集合是没有孤点闭集。完美集合又称为完备集合。
  • Cantor-Bendixson定理声称任何波兰空间都可以写为可数集合和完美集合的的并集。因为任何波兰空间的 Gδ 子集都再次是波兰空间,这个定理还证明了任何波兰空间的 Gδ 子集都是可数集合和完美集合的并集。
  • 拓扑空间T是T1 空间,当且仅当∀x∈X,d({x}) = ∅。

引用[编辑]

参见[编辑]