导集

在数学特别是点集拓扑学中，拓扑空间的子集 S 的导集（导出集合）是 S 的所有极限点的集合。它通常指示为 S′。

这个概念是格奥尔格·康托尔在1872年介入的，他开发集合论很大程度上就是为了研究在实直线上的导出集合。

性质

拓扑空间的子集 S 是闭合的，正好就在 $S' \subseteq S$ 的时候。两个子集 S 和 T 是分离的，正好就在它们是不相交的并且每个都与另一个的导集不相交的时候(但导集不需要相互不相交)。

集合 S 被定义为完美的，如果 S = S′。等价的说，完美集合是没有孤点的闭集。完美集合又称为完备集合。

两个拓扑空间是同胚的，当且仅当有从一个到另一个的双射使得任何子集的像的导集是这个子集的导集的像。

Cantor-Bendixson定理声称任何波兰空间都可以写为可数集合和完美集合的的并集。因为任何波兰空间的 G_δ 子集都再次是波兰空间，这个定理还证明了任何波兰空间的 G_δ 子集都是可数集合和完美集合的并集。

基于导集的拓扑

因为同胚可以完全依据导集来描述，导集可以在拓扑学中被用做原始概念。点集 X 可以装备上映射 X 的子集到 X 的子集的算子 ^*，使得对于任何集合 S 和任何点 a:

1. $\empty^* = \empty$
2. $S^{**} \subseteq S^*$
3. $a \in S^* \to a \in (S \setminus \{a\})^*$
4. $(S \cup T)^* \subseteq S^* \cup T^*$
5. $S \subseteq T \to S^* \subseteq T^*$

注意给定 5, 3 等价于下面的 3'，而 4 和 5 一起等价于下面的 4'，所以有下面的等价公理:

1. $\empty^* = \empty$
2. $S^{**} \subseteq S^*$

• 3'. $S^* = (S \setminus \{a\})^*$
• 4'. $\, (S \cup T)^* = S^* \cup T^*$

如果我们称集合 S 在 $S^* \subseteq S$ 时为闭合，就定义了在其中 ^* 为导出算子即 $S^* = S' \,\!$ 的空间上的拓扑。如果我们还要求单元素集合的导集为空，则结果的空间是T₁ 空间。

引用

• Kechris, A. Classical Descriptive Set Theory Graduate Texts in Mathematics 156. Springer. 1995. ISBN 0-387-94374-9 ISBN 3-540-94374-9. 
• Sierpiński, Wacław F.; translated by Krieger, C. Cecilia (1952). General Topology. University of Toronto Press.

参见

• 极限点
• 导出代数