射影线性群

射影线性群是代数学里群论中的一类群的称呼。射影线性群也叫射影一般线性群（一般记作 PGL），是某个系数域为$\mathbb{K}$的向量空间V上的一般线性群在射影空间 P(V) 上诱导的群作用。具体来说，射影线性群是商群：

$\mathbb{P}\mathcal{GL}(V) = \mathcal{GL}(V) \bigg/ \mathbb{K}(V)$

其中的$\mathcal{GL}(V)$是V上的一般线性群，而$\mathbb{K}(V)$是由V上的所有数乘变换构成的$\mathcal{GL}(V)$的子群。之所以在$\mathcal{GL}(V)$中约去$\mathbb{K}(V)$，是因为它们在射影空间上的作用是平凡的（所以构成群作用的核）。$\mathbb{K}(V)$ 有时也被记作 $\mathcal{Z}(V)$，因为它是一般线性群的中心。

与射影线性群类似的还有射影特殊线性群，一般记作PSL。它的定义与射影线性群相似，只不过不是在一般线性群而是在特殊线性群上。

$\mathbb{P}\mathcal{SL}(V) = \mathcal{SL}(V) \bigg/ \mathcal{SZ}(V)$

其中的$\mathcal{SL}(V)$是V上的特殊线性群，而$\mathcal{SZ}(V)$是$\mathbb{K}(V)$在$\mathcal{SL}(V)$中的子群（即行列式等于1的数乘变换构成的子群）。显然 $\mathcal{SZ}(V)$ 是 $\mathcal{SL}(V)$ 的中心。若$V = \mathbb{K}^n$（n 维空间），则 $\mathcal{SZ}(V)$ 同构于由n 次单位根构成的群。

射影线性群与射影特殊线性群都是群论和几何中最常研究的群，即所谓的“经典群”。射影线性群中的元素称为射影线性变换。$V = \mathbb{K}^n$（n 维空间），那么这个射影线性群也记作$\mathbb{P}\mathcal{GL}(n, \mathbb{K})$ 或 $\mathbb{P}\mathcal{GL}_n (\mathbb{K})$。

当且仅当 $\mathbb{K}$ 中每一个元素的n 次根都在 $\mathbb{K}$ 中，例如在 $\mathbb{K}$ 代数封闭（比如是复数域 $\mathbb{C}$）的时候，射影线性群与射影特殊线性群等同。$\mathbb{P}\mathcal{GL}(2, \mathbb{C}) = \mathbb{P}\mathcal{SL}(2, \mathbb{C})$。但是系数域为实数的时候，就有$\mathbb{C}$）的时候，射影线性群与射影特殊线性群等同。$\mathbb{P}\mathcal{GL}(2, \mathbb{C}) > \mathbb{P}\mathcal{SL}(2, \mathbb{C})$。几何的解释是：实射影直线是有向的，而实射影特殊线性群只包括保持定向的变换。

射影线性群与射影特殊线性群也可以在环上定义，一个重要的例子是模群$\mathbb{P}\mathcal{GL}(2, \mathbb{Z})$。