射影线性群

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射影线性群代数学群论中的一类的称呼。射影线性群也叫射影一般线性群(一般记作 PGL),是某个系数域为\mathbb{K}向量空间V上的一般线性群射影空间 P(V) 上诱导的群作用。具体来说,射影线性群是商群

\mathbb{P}\mathcal{GL}(V) = \mathcal{GL}(V) \bigg/ \mathbb{K}(V)

其中的\mathcal{GL}(V)V上的一般线性群,而\mathbb{K}(V)是由V上的所有数乘变换构成的\mathcal{GL}(V)子群[1]。之所以在\mathcal{GL}(V)中约去\mathbb{K}(V),是因为它们在射影空间上的作用是平凡的(所以构成群作用的)。\mathbb{K}(V) 有时也被记作 \mathcal{Z}(V),因为它是一般线性群的中心

与射影线性群类似的还有射影特殊线性群,一般记作PSL。它的定义与射影线性群相似,只不过不是在一般线性群而是在特殊线性群上。

\mathbb{P}\mathcal{SL}(V) = \mathcal{SL}(V) \bigg/ \mathcal{SZ}(V)

其中的\mathcal{SL}(V)V上的特殊线性群,而\mathcal{SZ}(V)\mathbb{K}(V)\mathcal{SL}(V)中的子群(即行列式等于1的数乘变换构成的子群)[1]。显然 \mathcal{SZ}(V)\mathcal{SL}(V) 的中心。若V = \mathbb{K}^nn 维空间),则 \mathcal{SZ}(V) 同构于由n单位根构成的群。

射影线性群与射影特殊线性群都是群论和几何中最常研究的群,即所谓的“经典群”。射影线性群中的元素称为射影线性变换V = \mathbb{K}^nn 维空间),那么这个射影线性群也记作\mathbb{P}\mathcal{GL}(n, \mathbb{K})\mathbb{P}\mathcal{GL}_n (\mathbb{K})

当且仅当 \mathbb{K} 中每一个元素的n都在 \mathbb{K} 中,例如在 \mathbb{K} 代数封闭(比如是复数域 \mathbb{C})的时候,射影线性群与射影特殊线性群等同。\mathbb{P}\mathcal{GL}(2, \mathbb{C}) = \mathbb{P}\mathcal{SL}(2, \mathbb{C}) 。但是系数域为实数的时候,就有\mathbb{C})的时候,射影线性群与射影特殊线性群等同。\mathbb{P}\mathcal{GL}(2, \mathbb{C}) > \mathbb{P}\mathcal{SL}(2, \mathbb{C}) [2]。几何的解释是:实射影直线是有向的,而实射影特殊线性群只包括保持定向的变换。

射影线性群与射影特殊线性群也可以在上定义,一个重要的例子是模群\mathbb{P}\mathcal{GL}(2, \mathbb{Z})

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Onorato Timothy O'Meara, Conference Board of the Mathematical Sciences. Lectures on linear groups. American Mathematical Soc. 1974. ISBN 9780821816721. 
  2. ^ Gareth A. Jones and David Silverman. (1987) Complex functions: an algebraic and geometric viewpoint. Cambridge UP. Discussion of PSL and PGL on page 20 in google books