射影表示

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數學中, G F 上的向量空間 V 上的射影表示意指一個群同態

G \to \mathrm{PGL}(V) := \mathrm{GL}(V)/F^\times

其中 \mathrm{GL}(V) 表示向量空間 V 的自同構群,而 F^\times 視為純量積映射 v \mapsto cv,其中 c \in F^\times

V 維度有限,選定基底後可將 \mathrm{PGL}(V) 理解為 \mathrm{PGL}(n,F),即 n \times n可逆矩陣正規子群 F^\times \cdot \mathrm{id}_V 之商群。

對於給定的群表示 \rho: G \to \mathrm{GL}(V),與商映射 p: \mathrm{GL}(V) \to \mathrm{PGL}(V) 合成後可得到一個射影表示。較常探討的是逆向的問題:如何將一個射影表示 \bar{\rho}: G \to \mathrm{PGL}(V) 提升至一個表示 \rho: G \to \mathrm{GL}(V),使得 p \circ \rho = \bar{\rho}

對於提升問題,通常採取如下進路:取同態 \bar{\rho}: G \to \mathrm{PGL}(V)p: \mathrm{GL}(V) \to \mathrm{PGL}(V)纖維積,得到一個中心擴張

1 \to F^\times \to \tilde{G} \to \mathrm{GL}(V) \to 1

其中 \tilde{G} = \{ (g,M) \in G \times \mathrm{GL}(V) | p(M)=\rho(g) \}

這類擴張由群上同調 H^2(\mathrm{GL}(V), F^\times) 分類。若此擴張是平凡的,則 \bar{\rho} 可提升至 G 的表示。即使此表示無法提升,仍可退而求其次,藉群上同調研究擴張的性質,例如:擴張對應的上同調類 \alpha \in H^2(\mathrm{GL}(V), F^\times) 滿足 n\alpha=0 若且唯若 \bar{\rho} 可提昇為某個中心擴張 1 \to \mathbf{\mu}_n \to \hat{G} \to \mathrm{GL}(V) \to 1\hat{G} 的表示。

參見[编辑]