對易關係

量子力学中，经常用到对易关系(commutation relation)，即

$[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$ ；

其中；$\hat{A}$ 、$\hat{B}$ 均为量子力学的算符，$[\hat{A}, \hat{B}]$ 是其对易算符，也称交换子。

如果上式等于零，则称 $\hat{A}$ 、$\hat{B}$ 是对易的，即意味着 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。

常用的对易关系有：

$[x, \hat{p_x}] = i\hbar$

$[x, \hat{p_y}] = 0$

$[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z$

$[\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x$

$[\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y$

对易关系满足如下性质：

$[\hat{A},\hat{B}]=-[\hat{B},\hat{A}]$

$[\hat{A},\hat{A}^n]=0,\quad n=1,2,3...$

$[k\hat{A},\hat{B}]=[\hat{A},k\hat{B}]=k[\hat{A},\hat{B}]$

$[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{A},\hat{C}],\quad[\hat{A}+\hat{B},\hat{C}]=[\hat{A},\hat{C}]+[\hat{B},\hat{C}]$

$[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}],\quad[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}+\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]$

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参考文献

1. Ira N Levine. Quantum Chemistry. Pearson Education Inc.. ISBN 0-13-685512-1.