交換子

在抽象代数中，一个群的交換子（commutator）或换位子是一个二元運算子。设 g 及 h 是 群G 中的元素，他們的交換子是g ⁻¹ h ⁻¹ gh，常記為 [ g, h ]。只有当g和h符合交换律（即 gh = hg ）时他们的交换子才是这个群的单位元。

一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。

對等元

交換子有以下特性:

$\left[A,BC\right] = B\left[A,C\right] + \left[A,B\right]C\,$

$\left[AB,C\right] = A\left[B,C\right] + \left[A,C\right]B\,$

量子力学中，经常用到对易关系(commutation relation)，即

$[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$ ；

其中；$\hat{A}$ 、$\hat{B}$ 均为量子力学的算符，$[\hat{A}, \hat{B}]$ 是其对易算符，也称交换子。

如果上式等于零，则称 $\hat{A}$ 、$\hat{B}$ 是对易的，即意味着 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。

常用的对易关系有：

$[x, \hat{p_x}] = i\hbar$

$[x, \hat{p_y}] = 0$

$[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z$

$[\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x$

$[\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y$

对易关系满足如下性质：

$[\hat{A},\hat{B}]=-[\hat{B},\hat{A}]$

$[\hat{A},\hat{A}^n]=0,\quad n=1,2,3...$

$[k\hat{A},\hat{B}]=[\hat{A},k\hat{B}]=k[\hat{A},\hat{B}]$

$[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{A},\hat{C}],\quad[\hat{A}+\hat{B},\hat{C}]=[\hat{A},\hat{C}]+[\hat{B},\hat{C}]$

$[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}],\quad[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}+\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]$

正則對易關係

物理學中，正則對易關係是正則共軛的量之間的關係，這樣的量從定義可以發現：一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說：

$[x,p] = i\hbar$

上面的x 與p 分別為一維空間中的一點粒子的位置與動量，而$[x,p]=xp-px$為所謂$x$與$p$的交換算符，$i$是虛數單位，$\hbar$為約化普朗克常數，等於$h/2\pi$。此一關係常歸功於海森堡，並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理。

與古典力學的關係

相對於量子力學，古典物理中所有可觀測量都可對易（交換），而交換算符會是零；然而仍然有類似的關係存在：需將交換子換成泊松括號，且常數$i\hbar$換成$1$：

$\{x,p\} = 1 \,\!$

這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設：一般來說，古典的觀測量$f,g$其量子對應項$\hat f,\hat g$應滿足

$[\hat f,\hat g]= i\hbar\widehat{\{f,g\}} \,$。

於1927年，赫曼·魏爾(Hermann Weyl)指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制，稱作魏爾量子化(Weyl quantization)，為了一種稱作形變量子化(deformation quantization)的量子化方法提供了數學途徑。

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