對稱多項式

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數學對稱多項式,是指這樣的n多項式P(X_1, X_2, ..., X_n),當n個變數任意交換後,多項式仍維持不變。

例子 [编辑]

  • P(X_1, X_2) = X_1{}^3+ X_2{}^3-7
  • P(X_1, X_2) = 4 X_1  X_2
  • P(X_1, X_2, X_3) = X_1 X_2 X_3 - 2 X_1 X_2 - 2 X_1 X_3 - 2 X_2 X_3

以上的多項式都對稱。但是像P(X_1, X_2) = X_1 - 2X_2的多項式就不對稱,因為把X_1X_2對換後,會得到X_2 - 2X_1,不等於原來的多項式。

初等對稱多項式 [编辑]

n個變數X_1, X_2, ..., X_n,有nn初等對稱多項式,就是(A+X_1)(A+X_2)...(A+X_n)除首項外的各項係數。例如當n=3,初等對稱多項式為X_1+X_2+X_3X_1X_2 + X_2X_3 + X_3X_1X_1X_2X_3

初等對稱多項式是對稱多項式的構成單元。所有n元對稱多項式,都可以用這n個初等對稱多項式以加法和乘法表示出來。更準確地說:

任何n元對稱多項式,都可以用這n個以原來變數組成的初等對稱多項式,唯一地以多項式來表示。

例如當n=2,有2個初等對稱多項式X_1+X_2X_1 X_2。第一個例的多項式可以寫成

P(X_1, X_2) = X_1{}^3+ X_2{}^3-7=(X_1+X_2)^3-3X_1X_2(X_1+X_2)-7