對稱多項式
维基百科，自由的百科全书
數學的對稱多項式，是指這樣的n元多項式P(X1,X2,...,Xn)，當n個變數任意交換後，多項式仍維持不變。
[编辑] 例子
- P(X1,X2) = X13 + X23 − 7
- P(X1,X2) = 4X1X2
- P(X1,X2,X3) = X1X2X3 − 2X1X2 − 2X1X3 − 2X2X3
以上的多項式都對稱。但是像P(X1,X2) = X1 − 2X2的多項式就不對稱，因為把X1和X2對換後，會得到X2 − 2X1，不等於原來的多項式。
[编辑] 初等對稱多項式
對n個變數X1,X2,...,Xn，有n個n元初等對稱多項式，就是(A + X1)(A + X2)...(A + Xn)除首項外的各項係數。例如當n = 3，初等對稱多項式為X1 + X2 + X3，X1X2 + X2X3 + X3X1和X1X2X3。
初等對稱多項式是對稱多項式的構成單元。所有n元對稱多項式，都可以用這n個初等對稱多項式以加法和乘法表示出來。更準確地說：
- 任何n元對稱多項式，都可以用這n個以原來變數組成的初等對稱多項式，唯一地以多項式來表示。
例如當n = 2，有2個初等對稱多項式X1 + X2和X1X2。第一個例的多項式可以寫成
- P(X1,X2) = X13 + X23 − 7 = (X1 + X2)3 − 3X1X2(X1 + X2) − 7。
