對稱多項式

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數學中的對稱多項式是一种特殊的多元多项式。假设一个n多項式P(X1, X2, ..., Xn),當其中的n個不定元任意交換後,多項式仍維持不變,就称其为对称多项式。严格的说法是,如果对任意的n元置换σ,都有P(Xσ(1), Xσ(2), ..., Xσ(n)) = P(X1, X2, ..., Xn),就说P是对称多项式。

对称多项式最早是在出现在对一元多项式方程求根的研究中。一元多项式方程的系数可以用它的根的多项式来表达。而多项式的任何一个根的地位理当与余者都相同,所以这类多项式中,不定元进行置换不应当改变多项式。从这个角度来说,将多项式方程的根构成的系数多项式称为基本对称多项式是合理的。有定理说明,任意的对称多项式都可以表达为基本对称多项式的多项式。


例子[编辑]

  • P(X_1, X_2) = X_1{}^3+ X_2{}^3-7
  • P(X_1, X_2) = 4 X_1  X_2
  • P(X_1, X_2, X_3) = X_1 X_2 X_3 - 2 X_1 X_2 - 2 X_1 X_3 - 2 X_2 X_3

以上的多項式都對稱。但是像P(X_1, X_2) = X_1 - 2X_2的多項式就不對稱,因為把X_1X_2對換後,會得到X_2 - 2X_1,不等於原來的多項式。

基本對稱多項式[编辑]

n個不定元X_1, X_2, ..., X_n,有nn初等對稱多項式,就是(A+X_1)(A+X_2)...(A+X_n)除首項外的各項係數。例如當n=3,基本對稱多項式為X_1+X_2+X_3X_1X_2 + X_2X_3 + X_3X_1X_1X_2X_3

基本對稱多項式是對稱多項式的構成單元。所有n元對稱多項式,都可以用這n個基本對稱多項式以加法和乘法表示出來。更準確地說:

任何n元對稱多項式,都可以用這n個以原來不定元組成的基本對稱多項式,唯一地以多項式來表示。

例如當n=2,有2個基本對稱多項式X_1+X_2X_1 X_2。第一個例子中的多項式可以寫成

P(X_1, X_2) = X_1{}^3+ X_2{}^3-7=(X_1+X_2)^3-3X_1X_2(X_1+X_2)-7