對稱多項式

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數學中的對稱多項式是一种特殊的多元多项式。假设一个n多項式P(X1, X2, ..., Xn),當其中的n個不定元任意交換後,多項式仍維持不變,就称其为对称多项式。严格的说法是,如果对任意的n元置换σ,都有P(Xσ(1), Xσ(2), ..., Xσ(n)) = P(X1, X2, ..., Xn),就说P是对称多项式。

对称多项式最早是在出现在对一元多项式方程求根的研究中。一元多项式方程的系数可以用它的根的多项式来表达。而多项式的任何一个根的地位理当与余者都相同,所以这类多项式中,不定元进行置换不应当改变多项式。从这个角度来说,将多项式方程的根构成的系数多项式称为基本对称多项式是合理的。有定理说明,任意的对称多项式都可以表达为基本对称多项式的多项式。


例子[编辑]

  • P(X_1, X_2) = X_1{}^3+ X_2{}^3-7
  • P(X_1, X_2) = 4 X_1  X_2
  • P(X_1, X_2, X_3) = X_1 X_2 X_3 - 2 X_1 X_2 - 2 X_1 X_3 - 2 X_2 X_3

以上的多項式都對稱。但是像P(X_1, X_2) = X_1 - 2X_2的多項式就不對稱,因為把X_1X_2對換後,會得到X_2 - 2X_1,不等於原來的多項式。

基本對稱多項式[编辑]

n個不定元X_1, X_2, ..., X_n,有nn初等對稱多項式,就是(A+X_1)(A+X_2)...(A+X_n)除首項外的各項係數。例如當n=3,基本對稱多項式為X_1+X_2+X_3X_1X_2 + X_2X_3 + X_3X_1X_1X_2X_3

基本對稱多項式是對稱多項式的構成單元。所有n元對稱多項式,都可以用這n個基本對稱多項式以加法和乘法表示出來。更準確地說:

任何n元對稱多項式,都可以用這n個以原來不定元組成的基本對稱多項式,唯一地以多項式來表示。

例如當n=2,有2個基本對稱多項式X_1+X_2X_1 X_2。第一個例子中的多項式可以寫成

P(X_1, X_2) = X_1{}^3+ X_2{}^3-7=(X_1+X_2)^3-3X_1X_2(X_1+X_2)-7

与高次方程的性质[编辑]

F(x)= (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)=\sum_{m=0}^{n}a_mx^m

F'(x)=(x-x_2)...(x-x_n)+(x-x_1)(x-x_3)...(x-x_n)+...+(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_{n-1})

F''(x)=(x-x_3)(x-x_4)...(x-x_n)+(x-x_2)(x-x_4)...(x-x_n)+...+(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_{n-2})

\frac{F'(x)}{F(x)}=\frac{1}{x-x_1}+\frac{1}{x-x_2}+...+\frac{1}{x-x_n}

与等幂和的性质[编辑]

以下用a表示对称多项式,s表示等幂和:

\prod_{r=1}^n (x-x_r)=\sum_{r=0}^n a_r x^r=0,s_m=\sum_{r=1}^n x_r^m

牛顿公式[编辑]

s_m+a_1s_{m-1}+a_2s_{m-2}+...+a_{m-1}s_1+ma_m=0[1]

证明如下:

\displaystyle(\sum_{i=1}^n k_i x_i^r)\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-r}} x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_{s-r}}
=\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-r}} k_{i_1}x_{i_1}^{r+1}x_{i_2}...x_{i_{s-r}}
+\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-r}} k_{i_1}x_{i_1}^{r}x_{i_2}...x_{i_{s-r+1}}

\displaystyle\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-1}} k_{i_1}x_{i_1}^{2}x_{i_2}...x_{i_{s-1}}+\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s}} k_{i_1}x_{i_1}^{1}x_{i_2}...x_{i_{s}}-\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-2}} k_{i_1}x_{i_1}^{3}x_{i_2}...x_{i_{s-2}}-\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-1}} k_{i_1}x_{i_1}^{2}x_{i_2}...x_{i_{s-1}}+...

\displaystyle(-1)^{s-1}\sum_{i_1} k_{i_1}x_{i_1}^{s}+\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s}} k_{i_1}x_{i_1}^{1}x_{i_2}...x_{i_{s}}=\sum_{r=1}^{s-1} (-1)^r (\sum_{i=1}^n k_i x_i^r)\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-r}} x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_{s-r}}

组合公式[编辑]

两项时使等幂和分解为积与和的组合,如x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2

x_1^m+x_2^m=\sum_{r=0}^{\lfloor \frac{m}{2} \rfloor}\frac{mC_{m-r}^{r}}{m-r}(x_1+x_2)^{m-2r}(-x_1 x_2)^r

数学归纳法可证明高维的形式:

s_m=\sum_{r_i=0}^{\lfloor \frac{m}{i} \rfloor} \frac{m(r_1+r_2+...+r_n -1)!}{r_1!r_2!...r_n!} \prod_{i=1}^n (-a_{n-i})^{r_i}
f(m,r_1,...,r_n)=f(m-1,r_1-1,...,r_n)+...+f(m-n,r_1,...,r_n-1)
 \frac{(m-1)(r_1+...+r_n-2)!}{(r_1-1)!...r_n!}+...+\frac{(m-n)(r_1+...+r_n-2)!}{r_1!...(r_n-1)!}=\frac{[r_1(m-1)+...+r_n(m-n)](r_1+...+r_n-2)!}{r_1!...r_n!}
=\frac{[m(r_1+...+r_n)-m](r_1+...+r_n-2)!}{r_1!...r_n!}=\frac{m(r_1+...+r_n-1)!}{r_1!...r_n!}

也可以把对称多项式表达成等幂和:

a_{n-m}=\sum_{r_i=0}^{\lfloor \frac{m}{i} \rfloor} \prod_{i=1}^m \frac{(-s_i)^{r_i}}{i^{r_i} r_i !}
mf(r_1,...,r_m)=f(r_1-1,...,r_m)+...+f(r_1,...,r_m-1)
r_1\prod_{i=1}^m \frac{1}{i^{r_i} r_i!}+...+mr_m\prod_{i=1}^m \frac{1}{i^{r_i} r_i!}=m\prod_{i=1}^m \frac{1}{i^{r_i} r_i!}

参见[编辑]

参考资料[编辑]