對稱多項式

數學的對稱多項式，是指這樣的$n$元多項式$P(X_1, X_2, ..., X_n)$，當$n$個變數任意交換後，多項式仍維持不變。

例子

• $P(X_1, X_2) = X_1{}^3+ X_2{}^3-7$
• $P(X_1, X_2) = 4 X_1 X_2$
• $P(X_1, X_2, X_3) = X_1 X_2 X_3 - 2 X_1 X_2 - 2 X_1 X_3 - 2 X_2 X_3$

以上的多項式都對稱。但是像$P(X_1, X_2) = X_1 - 2X_2$的多項式就不對稱，因為把$X_1$和$X_2$對換後，會得到$X_2 - 2X_1$，不等於原來的多項式。

初等對稱多項式

對$n$個變數$X_1, X_2, ..., X_n$，有$n$個$n$元初等對稱多項式，就是$(A+X_1)(A+X_2)...(A+X_n)$除首項外的各項係數。例如當$n=3$，初等對稱多項式為$X_1+X_2+X_3$，$X_1X_2 + X_2X_3 + X_3X_1$和$X_1X_2X_3$。

初等對稱多項式是對稱多項式的構成單元。所有$n$元對稱多項式，都可以用這$n$個初等對稱多項式以加法和乘法表示出來。更準確地說：

任何$n$元對稱多項式，都可以用這$n$個以原來變數組成的初等對稱多項式，唯一地以多項式來表示。

例如當$n=2$，有2個初等對稱多項式$X_1+X_2$和$X_1 X_2$。第一個例的多項式可以寫成

$P(X_1, X_2) = X_1{}^3+ X_2{}^3-7=(X_1+X_2)^3-3X_1X_2(X_1+X_2)-7$。