對角矩陣

對角矩陣(diagonal matrix)是一個主對角線之外的元素皆為 0 的矩陣。對角線上的元素可以為 0 或其他值。因此 n 行 n 列的矩陣 $\mathbf{D}$ = (d_i,j) 若符合以下的性質：

$d_{i,j} = 0 \mbox{ if } i \ne j \qquad \forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n\}$

則矩陣 $\mathbf{D}$ 為對角矩陣。

例子

$\begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}$

均為對角矩陣

矩陣運算

對角矩陣的相加及相乘都相當簡單。若以 diag(a₁,...,a_n) 表示一個對角線元素依序為a₁,...,a_n的對角矩陣。矩陣加法可用下式表示：

diag(a₁,...,a_n) + diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁+b₁,...,a_n+b_n)

而矩陣乘法可用下式表示：

diag(a₁,...,a_n) · diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁b₁,...,a_nb_n).

對角矩陣 diag(a₁,...,a_n) 為可逆 若且唯若 a₁,...,a_n 均不為零。若上述條件成立，則

diag(a₁,...,a_n)^-1 = diag(a₁^-1,...,a_n^-1).

特性

• 對角矩陣都是對稱矩陣。
• 對角矩陣是上三角矩陣及下三角矩陣。
• 單位矩陣I_n及零矩陣恆為對角矩陣。一維的矩陣也恆為對角矩陣。
• 一個對角線上元素皆相等的對角矩陣是数乘矩阵，可表示為單位矩陣及一个系数λ的乘積：λI。
• 一對角矩陣 diag(a₁, ..., a_n) 的特徵值為a₁, ..., a_n。而其特徵向量為單位向量 e₁, ..., e_n。
• 一對角矩陣 diag(a₁, ..., a_n) 的行列式為a₁...a_n的乘積。

方阵与对角矩阵相似的充分必要条件

$n$阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：

• $n$阶方阵存在$n$个线性无关的特征向量
  • 推论：如果这个$n$阶方阵有$n$阶个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵
• 如果$n$阶方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数

參考

• 三角矩陣