對角矩陣

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

對角矩陣(diagonal matrix)是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。因此n行n列的矩陣\mathbf{D} = (di,j)若符合以下的性質:

d_{i,j} = 0 \mbox{ if } i \ne j  \qquad \forall i,j \in
    \{1, 2, \ldots, n\}

則矩陣\mathbf{D}為對角矩陣。

例子[编辑]


\begin{pmatrix} 
a & 0 & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c 
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
1 & 0 \\
0 & 7
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
2
\end{pmatrix}

均為對角矩陣

矩陣運算[编辑]

對角矩陣的相加及相乘都相當簡單。若以 diag(a1,...,an) 表示一個對角線元素依序為a1,...,an的對角矩陣。矩陣加法可用下式表示:

diag(a1,...,an) + diag(b1,...,bn) = diag(a1+b1,...,an+bn)

而矩陣乘法可用下式表示:

diag(a1,...,an) · diag(b1,...,bn) = diag(a1b1,...,anbn).

對角矩陣 diag(a1,...,an) 為可逆 若且唯若 a1,...,an 均不為零。若上述條件成立,則

diag(a1,...,an)-1 = diag(a1-1,...,an-1).

特性[编辑]

方阵与对角矩阵相似的充分必要条件[编辑]

n阶方阵可进行对角化的充分必要条件是:

  • n阶方阵存在n个线性无关的特征向量
    • 推论:如果这个n阶方阵有n阶个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵
  • 如果n阶方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数

參考[编辑]


线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
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