對頂角

在幾何學中，对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。

对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。

用数学语言描述就是（如右图）：

设直线AD、BC交于点O。则形成四个角：∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。其中，∠AOB和∠COD互为对顶角，∠AOC和∠BOD互为对顶角。∠AOB = ∠COD，∠AOC = ∠BOD。

歷史

古希腊數學家泰勒斯。

泰勒斯生於希臘，是一位擅長於幾何學的數學家及哲學家。他一生發现了多个几何学定理，包括等腰三角形中的“等边对等角”定理，也包括对顶角定理。

对顶角定理的證明

设直线AD、BC交于点O，那么，∠AOB和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质，

$\angle AOB + \angle AOC = \pi$

其中$\pi$是一个平角的度数。

类似地，∠COD和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质，

$\angle COD + \angle AOC = \pi$

因此，$\angle AOB + \angle AOC = \pi = \angle COD + \angle AOC$

两边减去相同的角度$\angle AOC$ 后，就得到

$\angle AOB = \angle COD$。

同样地，可以证明$\angle AOC = \angle BOD$。

用途

一对全等三角形。

对顶角通常用于测量角度以及证明全等三角形。以下是一个利用对顶角证明全等三角形的例子：

如右图，已知AB=CD，∠BAE=∠CAE。求证：$\triangle ABE \cong \triangle DCE$。

证明：在△ABE与△DCE中，

$\begin{cases} \angle BAE = \angle CDE\\ \angle AEB = \angle CED\\ AB = DC \end{cases}$

因此，$\triangle ABE \cong \triangle DCE$。

在以上证明中，∠AEB=∠CED的结论就是通过对顶角定理得出的。注意，在一般的几何证明中，对顶角定理并不需要显式地叙述出来，可以当作是默认的条件。

相关条目

• 补角
• 三线八角

參考資料

• http://www.math.ied.edu.hk/ykman/history/Ref/maths.htm 數學家資料