導出函子

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同調代數中,阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」,以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。

動機[编辑]

考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之:給定兩個阿貝爾範疇 \mathcal{A}, \mathcal{B},及其間的加法函子 F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}。假設 F 為左正合函子,換言之,對 \mathcal{A} 中的任一短正合序列

0\to A \to B \to C \to 0

下列序列是正合的:

0\to F(A)\to F(B)\to F(C)

由此自然導出一個問題:如何自然地延長此正合序列?F 的(右)導出函子是一族函子 R^i F: \mathcal{A} \to \mathcal{B},滿足 R^0 F = F,且有相應的長正合序列:

0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^1F(A) \to R^1F(B) \to R^1F(C)\to R^2F(A)\to \cdots

導出函子可以視為 F 的右正合性的尺度。

構造與初步性質[编辑]

右導出函子[编辑]

今假設 \mathcal{A} 中有充足的內射元。設 X \in  \mathcal{A},根據假設,存在內射分解

0\to X\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots

取函子 F,得到上鏈複形

0\to F(X) \to F(I^0)\to F(I^1) \to F(I^2) \to\cdots

定義 R^i F(X) 為其第 i 個上同調群,特別是有 R^0 F(X) = F(X)。注意到兩點:

  • 由於任兩個內射分解彼此同倫等價,函子 R^i F 在同構的意義下是明確定義的。
  • X 是內射對象,取平凡分解 0 \to X \to X \to 0,可知當 i>0 時有 R^i F(X) = 0

左導出函子[编辑]

左導出函子的建構與右導出函子對偶。設 G: \mathcal{A} \to \mathcal{B} 為右正合加法函子,並假設 \mathcal{A} 有充足的射影元。對任一對象 X \in \mathcal{A},取一射影分解

\cdots\to P_2\to P_1\to P_0 \to X \to 0

取函子 G,得到鏈複形:

 \cdots \to G(P_2) \to G(P_1) \to G(P_0) \to 0

定義 L^i G(X) 為其第 i 個同調群,其性質類似右導出函子。

逆變函子的情形[编辑]

對於逆變函子也能定義導出函子,此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。

長正合序列[编辑]

對於右導出函子的情形,任一短正合序列 0 \to A \to B \to C \to 0 給出長正合序列

\cdots \to  R^{i-1} F(C) \to R^i F(A) \to R^i F(B) \to R^i F(C) \to R^{i+1} F(A) \to \cdots

對於左導出函子,相應的長正合序列形如

\cdots \to L^{i+1} G(C) \to L^i G(A) \to L^i G(B) \to L^i G(C) \to L^{i-1} G(C) \to \cdots

此外,這些長正合序列在下述意義下是「自然」的:

  • 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
  • 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。

這些性質是蛇引理的推論。

應用[编辑]

  • 層上同調:對拓撲空間 X,考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇,它有充足的內射元。整體截面函子 \mathcal{F} \mapsto \Gamma(X,\mathcal{F}) 是左正合函子,相應的右導出函子即層上同調函子 \mathcal{F} \mapsto H^i(X, \mathcal{F})
  • 平展上同調:平展上同調用於概形上的另一種上同調理論。
  • Ext函子:設 R 為環,考慮 R-模範疇,它有充足的內射元及射影元。對任一 R-模 A,函子 \mathrm{Hom}_R(A, -) 為左正合的,其右導出函子記為 B \mapsto \mathrm{Ext}^i_R(A,B)
  • Tor函子:同樣考慮 R-模範疇,對任一 R-模 B,函子 - \otimes_R B 為右正合的,其左導出函子記為 A \mapsto \mathrm{Tor}_i^R(A,B)
  • 群上同調:設 G。所謂 G-模是指被 G 作用的阿貝爾群G-模範疇可以理解為 \Z G-模範疇。對任一 G-模 M,定義 M^G := \{ m \in M : \forall g \in G, \; g \cdot m = m \},這是一個左正合函子,其右導出函子即群上同調函子 M \mapsto H^i(G, M)

推廣[编辑]

現代的導範疇理論為導出函子提供了一套較廣的框架。

文獻[编辑]

  • Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1