導出函子

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在同調代數中，阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」，以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。

動機

考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之：給定兩個阿貝爾範疇 $\mathcal{A}, \mathcal{B}$，及其間的加法函子 $F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$。假設 $F$ 為左正合函子，換言之，對 $\mathcal{A}$ 中的任一短正合序列

$0\to A \to B \to C \to 0$

下列序列是正合的：

$0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$

由此自然導出一個問題：如何自然地延長此正合序列？$F$ 的（右）導出函子是一族函子 $R^i F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$，滿足 $R^0 F = F$，且有相應的長正合序列：

$0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^1F(A) \to R^1F(B) \to R^1F(C)\to R^2F(A)\to \cdots$

導出函子可以視為 $F$ 的右正合性的尺度。

構造與初步性質

右導出函子

今假設 $\mathcal{A}$ 中有充足的內射元。設 $X \in \mathcal{A}$，根據假設，存在內射分解：

$0\to X\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots$

取函子 $F$，得到上鏈複形：

$0\to F(X) \to F(I^0)\to F(I^1) \to F(I^2) \to\cdots$

定義 $R^i F(X)$ 為其第 $i$ 個上同調群，特別是有 $R^0 F(X) = F(X)$。注意到兩點：

• 由於任兩個內射分解彼此同倫等價，函子 $R^i F$ 在同構的意義下是明確定義的。
• 若 $X$ 是內射對象，取平凡分解 $0 \to X \to X \to 0$，可知當 $i>0$ 時有 $R^i F(X) = 0$。

左導出函子

左導出函子的建構與右導出函子對偶。設 $G: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 為右正合加法函子，並假設 $\mathcal{A}$ 有充足的射影元。對任一對象 $X \in \mathcal{A}$，取一射影分解：

$\cdots\to P_2\to P_1\to P_0 \to X \to 0$

取函子 $G$，得到鏈複形：

$\cdots \to G(P_2) \to G(P_1) \to G(P_0) \to 0$

定義 $L^i G(X)$ 為其第 $i$ 個同調群，其性質類似右導出函子。

逆變函子的情形

對於逆變函子也能定義導出函子，此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。

長正合序列

對於右導出函子的情形，任一短正合序列 $0 \to A \to B \to C \to 0$ 給出長正合序列

$\cdots \to R^{i-1} F(C) \to R^i F(A) \to R^i F(B) \to R^i F(C) \to R^{i+1} F(A) \to \cdots$

對於左導出函子，相應的長正合序列形如

$\cdots \to L^{i+1} G(C) \to L^i G(A) \to L^i G(B) \to L^i G(C) \to L^{i-1} G(C) \to \cdots$

此外，這些長正合序列在下述意義下是「自然」的：

• 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
• 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。

這些性質是蛇引理的推論。

應用

• 層上同調：對拓撲空間 $X$，考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇，它有充足的內射元。整體截面函子 $\mathcal{F} \mapsto \Gamma(X,\mathcal{F})$ 是左正合函子，相應的右導出函子即層上同調函子 $\mathcal{F} \mapsto H^i(X, \mathcal{F})$。
• 平展上同調：平展上同調用於概形上的另一種上同調理論。
• Ext函子：設 $R$ 為環，考慮 $R$-模範疇，它有充足的內射元及射影元。對任一 $R$-模 $A$，函子 $\mathrm{Hom}_R(A, -)$ 為左正合的，其右導出函子記為 $B \mapsto \mathrm{Ext}^i_R(A,B)$。
• Tor函子：同樣考慮 $R$-模範疇，對任一 $R$-模 $B$，函子 $- \otimes_R B$ 為右正合的，其左導出函子記為 $A \mapsto \mathrm{Tor}_i^R(A,B)$。
• 群上同調：設 $G$ 為群。所謂 $G$-模是指被 $G$ 作用的阿貝爾群，$G$-模範疇可以理解為 $\Z G$-模範疇。對任一 $G$-模 $M$，定義 $M^G := \{ m \in M : \forall g \in G, \; g \cdot m = m \}$，這是一個左正合函子，其右導出函子即群上同調函子 $M \mapsto H^i(G, M)$。

推廣

現代的導範疇理論為導出函子提供了一套較廣的框架。

文獻

• Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1