尺规作图

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正五邊形的作圖

尺规作图是起源于古希腊数学课题。只使用圆规直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题。

值得注意的是,以上的“直尺”和“圆规”是抽象意义的,跟現實中的並非完全相同,具体而言,有以下的限制:

  • 直尺必須沒有刻度,無限長,且只能使用直尺的固定一側。只可以用它來將兩個點連在一起,不可以在上畫刻度。
  • 圆规可以開至無限寬,但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成你之前構造過的長度或一個任意的長度。

尺规作图的研究,促成数学上多个领域的发展。好些数学结果就是为解决古希腊三大名题得出的副产品,对尺规作图的探索推动了对圆锥曲线的研究,发现了一批著名的曲线,等等。

若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能的例子是利用了19世纪出现的伽罗瓦理論以证明。尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方三等分任意角最受注意。

原理[编辑]

作圖公法[编辑]

作圖公法

以下是尺規作圖中可用的基本方法,也稱為作圖公法,任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法:

  • 通過兩個已知點可作一直線。
  • 已知圓心和半徑可作一個圓。
  • 若兩已知直線相交,可求其交點。
  • 若已知直線和一已知圓相交,可求其交點。
  • 若兩已知圓相交,可求其交點。

問題[编辑]

古希臘三大難题[编辑]

古希臘三大難题是早期希臘数学家特别感兴趣的三个问题。由于我们的现代几何学知识是从希臘发源的,因此这三个古典几何问题在几何学中有着很高的地位。它们分别是:

化圆为方問題
求一个正方形的边长,使其面积与一已知圆的相等;
三等分角問題
求一角,使其角度是一已知角度的三分之一(可以用只有一點刻度的直尺與圓規作出)
倍立方問題
求一立方体的棱长,使其体积是一已知立方体的二倍(可以用木工的角尺作出)。

在欧几里得几何学的限制下,以上三个问题都不可能解决的。据说,这些问题据欧几里得几何作图求解的不可能性的最早严格证明是旺采尔(P. L. Wantzel)于1837年给出的。[來源請求]

正多边形作法[编辑]

  • 只使用直尺和圆规,作正五边形
  • 只使用直尺和圆规,作正六边形
  • 只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形已被證明是不能由尺规作出的。
  • 只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因為單用直尺和圓規,是不足以把一个角分成三等份的。
  • 问题的解决:高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非負整數次方乘以不同的费马素数的积,解决了兩千年来悬而未决的难题。
  • 1832年,Richelot與Schwendewein給出正257邊形的尺規作法。
  • 1900年左右,Hermes花費十年的功夫用尺規作圖作出正65537邊形,他的手稿裝滿一大皮箱,可以說是最複雜的尺規作圖。

四等分圆周[编辑]

這道題只准许使用圆规,要求參與者将一个已知圆心的圆周4等分。這道題传言是拿破仑·波拿巴擬出,向全法国数学家挑战的。這道題已被證明有解。

延伸[编辑]

圓規作圖[编辑]

  • 1672年,喬治·莫爾(Georg Mohr)证明:如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”,那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出,拿破崙問題就是一個例子。

直尺作圖[编辑]

  • 只用直尺所能作的圖其實不多,但在已知一个圆和其圆心的情况下,那么凡是尺规能作的,单用直尺也能作出。

生鏽圓规(即半径固定的圆规)作图[编辑]

  • 生锈圆规作图,已知两点AB,找出一点C使得AB=BC=CA
  • 已知两点AB,只用半径固定的圆规,求作C使C是线段AB的中点。
  • 尺规作图,是古希臘人按“盡可能简单”这个思想出发的,能更简洁的表达吗?顺着这思路就有了更简洁的表达。
    • 10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。

二刻尺作图[编辑]

  • 將條件放寬,允許使用有刻度的直尺,可以三等分角或做出正七邊形等一般尺規做圖所做不到的事

允许使用长度等于1的线段[编辑]

  • 已知两条线段AB、AC,可以作出一条线段的长度等于两条线段长度之乘积AB×AC。

外部鏈結[编辑]

尺規作圖的程式[编辑]