局部可积函数

在数学中，局部可积函数是指在定义域内的所有紧集上都可积的函数。

常见定义

设 $\Omega$ 为欧几里得空间$\mathbb{R}^n$中的一个开集。设$\scriptstyle f:\Omega\to\mathbb{C}$ 是一个勒贝格可测函数。如果函数 $f$ 在任意紧集 $K\subset \Omega$ 上的勒贝格积分都存在：

$\int_K | f| \mathrm{d}x <+\infty\,$

那么就称函数 $f$ 为一个 $\Omega$-局部可积的函数。所有在 $\Omega$ 上局部可积的函数的集合一般记为 $\scriptstyle L^1_{loc}(\Omega)$ ：

$L^1_{loc}(\Omega)=\left\{f:\Omega\to\mathbb{C},\right.$可测 $\left.\left|\ f\in L^1(K),\ \forall K\in {\mathcal{P}_0(\Omega)}\right.\right\}$

其中 $\scriptstyle{\mathcal{P}_0(\Omega)}$ 指 $\Omega$ 包含的所有的紧集的集合。

一般测度空间

对于更一般的测度空间$(X, d\mu)$，也可以类似地定义其上的局部可积函数。

性质

• 所有 $\Omega$ 上的连续函数与可积函数都是 $\Omega$-局部可积的函数。如果 $\Omega$ 是有界的，那么 $\Omega$ 上的L²函数也是 $\Omega$-局部可积的函数。
• 局部可积函数都是几乎处处有界的函数$(X, d\mu)$，也可以类似地定义其上的局部可积函数。
• 复数值的函数 $f$ 是局部可积函数，当且仅当其实部函数 $Re(f) : x \to Re \left(f(x)\right)$ 与虚部函数 $Im(f) : x \to Im \left(f(x)\right)$ 都是局部可积函数。实数值的函数 $f$ 是局部可积函数，当且仅当其正部函数 $f_{+} : x \to \left(f(x)\right)_{+}$ 与负部函数 $f_{-} : x \to \left(f(x)\right)_{-}$ 都是局部可积函数。

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