局部可积函数

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数学中,局部可积函数是指在定义域内的所有紧集上都可积函数

常见定义[编辑]

\Omega 为欧几里得空间\mathbb{R}^n中的一个开集。设\scriptstyle f:\Omega\to\mathbb{C} 是一个勒贝格可测函数。如果函数 f 在任意紧集 K\subset \Omega 上的勒贝格积分都存在:

 \int_K | f| \mathrm{d}x <+\infty\,

那么就称函数 f 为一个 \Omega-局部可积的函数[1]。所有在 \Omega 上局部可积的函数的集合一般记为 \scriptstyle L^1_{loc}(\Omega)

L^1_{loc}(\Omega)=\left\{f:\Omega\to\mathbb{C},\right. 可测 \left.\left|\ f\in L^1(K),\ \forall K\in {\mathcal{P}_0(\Omega)}\right.\right\}

其中 \scriptstyle{\mathcal{P}_0(\Omega)}\Omega 包含的所有的紧集的集合。

一般测度空间[编辑]

对于更一般的测度空间(X, d\mu),也可以类似地定义其上的局部可积函数[2]

性质[编辑]

  • 所有 \Omega 上的连续函数与可积函数都是 \Omega-局部可积的函数。如果 \Omega 是有界的,那么 \Omega 上的L2函数也是 \Omega-局部可积的函数[3]
  • 局部可积函数都是几乎处处有界的函数(X, d\mu),也可以类似地定义其上的局部可积函数[4]
  • 复数值的函数 f 是局部可积函数,当且仅当其实部函数 Re(f) : x \to Re \left(f(x)\right) 与虚部函数 Im(f) : x \to Im \left(f(x)\right) 都是局部可积函数。实数值的函数 f 是局部可积函数,当且仅当其正部函数 f_{+} : x \to \left(f(x)\right)_{+} 与负部函数 f_{-} : x \to \left(f(x)\right)_{-} 都是局部可积函数[4]

相关条目[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ Francis Hirsch, Gilles Lacombe. Elements of functional analysis. Springer. 1999年. ISBN 978-0387985244 (英文). 第268页
  2. ^ Jean Alexandre Dieudonné. Treatise on Analysis 第2卷. Academic Press. 1976年 (英文). 第181页
  3. ^ John Michael Rassias. Functional analysis, approximation theory, and numerical analysis. World Scientific Publishing Co., Inc. 1994年6月. ISBN 978-981-02-0737-3 (英文). 第25页
  4. ^ 4.0 4.1 Jean Alexandre Dieudonné. Treatise on Analysis 第2卷. Academic Press. 1976 (英文). 第180页