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局部域

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數學上局部域是一類特別的,它有非平凡的絕對值,此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類:一種的絕對值滿足阿基米德性質(稱作阿基米德局部域),另一種的絕對值不滿足阿基米德性質(稱作非阿基米德局部域)。在數論中,數域完備化給出局部域的典型例子。

非阿基米德局部域[编辑]

F 為非阿基米德局部域,而 |\cdot| 為其絕對值。關鍵在下述對象:

  • 閉單位球:\{a\in F: |a|\leq 1\},或其整數環 \mathcal{O},這是個緊集
  • 整數環裡的單位元素\mathcal{O}^\times = \{a\in F: |a|= 1\}
  • 開單位球:\{a\in F: |a|< 1\},這同時是其整數環裡唯一的極大理想,也記作 \mathfrak{m}

上述對象與賦值環的構造相呼應;事實上,可證明必存在實數 0 < c < 1離散賦值 v: F^\times \rightarrow \mathbb{Z},使得

\forall a \in F \; c^{v(a)}=|a|.

可取唯一的 c 使得 v 為滿射,稱之為正規化賦值

從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義:一個域 F,帶離散賦值 v: F^\times \rightarrow \mathbb{Z},使得F成為完備的拓撲域,而且剩餘域有限。

這類局部域的行為可由局部類域論描述。

分類[编辑]

局部域的完整分類如次:

  • \mathbb R, \mathbb C。這些是阿基米德局部域。
  • p進數\mathbb{Q}_p 的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部域。
  • \mathbb{F}_q((T)) 的有限擴張(其中\mathbb{F}_q表有 q 個元素的有限域)。這些是特徵非零的非阿基米德局部域。

文獻[编辑]