岩泽分解

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数学中,半单李群岩泽分解 KAN 推广了实方阵能写成一个正交矩阵上三角矩阵的乘积(格拉姆-施密特正交化之推论)。以创立者日本数学家岩泽健吉命名。

定义[编辑]

  • G 是一个连通半单实李群。
  •  \mathfrak{g}_0 G李代数
  •  \mathfrak{g}  \mathfrak{g}_0 复化
  • θ 是  \mathfrak{g}_0 的一个嘉当对合
  •  \mathfrak{g}_0 = \mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{p}_0 是相应的嘉当分解
  •  \mathfrak{a}_0  \mathfrak{p}_0 的一个极大阿贝尔子空间。
  • Σ 是  \mathfrak{a}_0 的限定根,对应于  \mathfrak{a}_0 作用在  \mathfrak{g}_0 上的特征值。
  • Σ+ 是 Σ 的正根。
  •  \mathfrak{n}_0 是由 Σ+ 的根空间的和给出的幂零李代数。
  • K,A, N 分别是由  \mathfrak{k}_0, \mathfrak{a}_0  \mathfrak{n}_0 生成的子群。

那么, \mathfrak{g}_0 岩泽分解

\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{k}_0 + \mathfrak{a}_0 + \mathfrak{n}_0

G 的岩泽分解为:

G=KAN.

A (或等价的  \mathfrak{a}_0 )的维数称为 G实秩

盐泽分解对一些不连通半单李群G 也成立,此时 K 为(不连通)极大紧子群并假定 G中心为有限。

例子[编辑]

如果 G=GLn(R),那么可取 K 为正交矩阵,A 为正对角矩阵,N幂幺群(对角元全1的上三角矩阵)。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Fedenko, A.S.; Shtern, A.I., 岩泽分解// (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社, 2001, ISBN 978-1556080104 
  • A. W. Knapp, Structure theory of semisimple Lie groups, in ISBN 0-8218-0609-2: Representation Theory and Automorphic Forms: Instructional Conference, International Centre for Mathematical Sciences, March 1996, Edinburgh, Scotland (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics) by T. N. Bailey (Editor), Anthony W. Knapp (Editor)
  • 岩泽健吉,On some types of topological groups. Annals of Mathematics (2) 50, (1949), 507–558.