嵌入 (数学)

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

數學上,嵌入是指一個數學結構映射包含到另一個結構中。某個物件X稱為嵌入到另一個物件Y中,是指有一個保持結構的單射f: XY,這個映射f就給出了一個嵌入。上述「保持結構」的準確意思,需由所討論的結構而定。一個保持結構的映射,在範疇論中稱為態射

要表達f: XY是一個嵌入,有時會使用帶鉤箭號f\colon X\hookrightarrow Y。但這個帶鉤箭號有時只留作表示包含映射時用。

拓撲與幾何[编辑]

點集拓撲[编辑]

拓撲上,一個嵌入是一個單射,使得拓撲空間到其上為同胚。換言之,兩個拓撲空間X, Y之間的一個連續單射f: XY是一個拓撲嵌入,如果f給出Xf(X)間的同胚(空間f(X)上的拓撲是由Y誘導的子空間拓撲。)凡是連續單射的開映射閉映射都是拓撲嵌入,不過一個嵌入也可能既非開映射也非閉映射:當其f(X)不是Y中的開集閉集時,便發生這種情況。

微分拓撲[编辑]

微分拓撲中,令M, N光滑流形,而f: MN光滑映射。則如果f微分處處皆為單射,則稱f為一個浸入。此時的嵌入定義為一個符合拓撲嵌入定義的單射浸入,又稱為光滑嵌入。換言之,嵌入是微分同胚於其像,所以嵌入的像必是子流形浸入是一個局部嵌入,即在每點x\in M,都有鄰域U\ni x,使得限制到這鄰域上的f|_U\colon U\to N是嵌入。如果M緊緻流形,則M的浸入必是嵌入。

光滑嵌入的一個重要情形是在N\mathbb R^n時。這情形引起興趣之處,在於對任何m維流形Mn需多大才保證有從M\mathbb R^n的光滑嵌入。惠特尼嵌入定理n = 2m便足夠,而且是最好的上界。例如嵌入一個m維的實射影平面便需要n = 2m

如果將光滑嵌入的定義中,f為光滑映射的條件放寬為Ck映射,其中k正整數,而其餘條件不變,則f稱為Ck嵌入

黎曼幾何[编辑]

黎曼幾何中,設(M,g), (N,h)是黎曼流形,一個等距嵌入是一個光滑嵌入f: MN,令黎曼度量保持不變,即將hf拉回等於g,就是g=f^*(h)。更明確言之,對M中任何一點x,及任何兩個切向量

v,w\in T_x(M)

都有

g(v,w)=h(df(v),df(w)).

度量空間[编辑]

X, Y度量空間,映射f\colon X\to Y是一個拓撲嵌入。如果ff^{-1}(定義在f(X)上)都是利普希茨連續,則稱f雙利普希茨嵌入(bi-Lipschitz embedding)。換言之,如果存在常數L \ge 1,使得

\frac 1 L\ d_X(x,y) \le d_Y(f(x),f(y)) \le L\ d_X(x,y)

則稱f為(L-)雙利普希茨嵌入。

一個更廣義的嵌入是擬對稱嵌入(quasisymmetric embedding)。如前設f為拓撲嵌入。f稱為(η-)擬對稱嵌入,如果存在同胚\eta\colon [0,\infty)\to[0,\infty)(即η(0)=0且η嚴格遞增連續函數),使得X中任何三點x, a, b若滿足

d_X(x,a) \le t\ d_X(x,b)

其中t > 0,則有

d_Y(f(x),f(a)) \le \eta(t)\ d_Y(f(x),f(b)).

f是一個L-雙利普希茨嵌入,可令\eta(t)=L^2 t,則fη-擬對稱嵌入。

雙利普希茨嵌入的一個相關概念是擬等距嵌入。擬等距嵌入雖名為嵌入,卻不一定是嵌入,因其未必是單射

代數[编辑]

域論[编辑]

域論上,從一個E到另一個域F中的一個嵌入,是一個環同態σ: EF。因為環同態的是一個理想,而域的理想只有0及整個域本身,又σ(1)=1,故其核不能為整個域,即知核為0。因此這個環同態必定是單態射,而E和在F中的σ(E)同構。所以可稱兩個域之間的任何同態為嵌入。

序理論[编辑]

關於序理論中的嵌入,可參見序嵌入

參考[编辑]

  • Sharpe, R.W., Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York. 1997, ISBN 0-387-94732-9 .
  • Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York. 1983, ISBN 0-387-90894-3 .
  • Heinonen, Juha, Lecture on Analysis on Metric Spaces, Springer-Verlag, New York. 2001, ISBN 0-387-95104-0 .