# 差分

$\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

## 定义

### 前向差分

$x_k = x_0 + kh, (k = 0,1,...,n)$
$\ \Delta f(x_k)=f(x_{k+1})-f(x_k)$

### 逆向差分

$\ \nabla f(x_k)=f(x_k)-f(x_{k-1}).\,$

## 差分的阶

$\ \Delta^n [f](x)$$\ f(x)$$\ n$阶差分。

 $\ \Delta^n [f](x)$ $\ = \Delta \{ \Delta^{n-1} [f](x) \}$ $\ = \Delta^{n-1} [f](x+1) - \Delta^{n-1} [f](x)$

$\ \Delta^n [f](x) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} (-1)^{n-i} f(x+i)$

$\ \Delta^2 [f](x) = f(x+2) - 2f(x+1) + f(x)$

## 差分的性质

$\Delta C=0$
• 线性：如果 $\ a$$\ b$ 为常数，则有
$\Delta (af+bg) = a \Delta f + b \Delta g$
$\Delta (fg) = f \Delta g + g \Delta f + \Delta f \Delta g$
$\nabla (f g) = f \nabla g + g \nabla f - \nabla f \nabla g$
$\nabla \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{1}{g} \det \begin{bmatrix} \nabla f & \nabla g \\ f & g \end{bmatrix} \det {\begin{bmatrix} g & \nabla g \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}^{-1}$
$\Delta \left( \dfrac{f}{g} \right) = \dfrac{1}{g} \det \begin{bmatrix} \Delta f & \Delta g \\ f & g \end{bmatrix} \det {\begin{bmatrix} g & \Delta g \\ -1 & 1 \end{bmatrix}}^{-1}$
$\nabla\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \nabla f - f \nabla g}{g \cdot (g - \nabla g)}$
$\Delta\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \Delta f - f \Delta g}{g \cdot (g + \Delta g)}$
$\sum_{n=a}^{b} \Delta f(n) = f(b+1)-f(a)$
$\sum_{n=a}^{b} \nabla f(n) = f(b)-f(a-1)$

## 牛頓級數

### 單位步長情況

x值間隔為單位步長1時，有：

\begin{align} f(x) &= f(a) + \frac {x-a} {1} \left( \Delta^1 [f](a) + \frac {x-a-1} {2}\left( \Delta^2 [f](a) + \cdots \right) \right) \\ f(x) &= f(a) + \sum_{k=1}^n \Delta^k [f](a) \prod_{i=1}^{k} \frac{((x-a)-i+1)}{i} \\ &= \sum_{k=0}^n {x-a \choose k}~ \Delta^k [f](a) \\ \end{align}

${x \choose k} = \frac{(x)_k}{k!} \quad\quad (x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)$

### 實例

$\begin{matrix} \begin{array}{|c||c|c|c|} \hline x & \Delta^0 & \Delta^1 & \Delta^2 \\ \hline 1&\underline{2}& & \\ & &\underline{2}& \\ 2&4& &\underline{2} \\ & &4& \\ 3&8& & \\ \hline \end{array} & \quad \begin{matrix} f(x)=\Delta^0 \cdot 1 +\Delta^1 \cdot \dfrac{(x-x_0)}{1!} + \Delta^2 \cdot \dfrac{(x-x_0)(x-x_0-1)}{2!} \quad (x_0=1)\\ \\ =2 \cdot 1 + 2 \cdot \dfrac{x-1}{1} + 2 \cdot \dfrac{(x-1)(x-2)}{2} \\ \\ =2 + 2(x-1) + (x-1)(x-2) \\ \end{matrix} \end{matrix}$

### 一般情況

\begin{align} f(x) &= f(a) + \frac {x-a} {h} \left( \Delta_h^1[f](a) + \frac {x-a-h} {2h}\left(\Delta_h^2[f](a) + \cdots \right) \right) \\ f(x) &= f(a) + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\ &=f(a) + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!} \prod_{i=0}^{k-1} (\frac{x-a}{h}-i). \end{align}

\begin{align} \Delta_h^0[f](a)&=f(a) \\ \frac{\Delta_h^1[f](a)}{h} &=\frac {\Delta_h^0[f](a+h)-\Delta_h^0[f](a)}{x_1-x_0} \quad x_1-x_0=h \\ \vdots & \\ \frac{\Delta_h^n[f](a)}{n!h^n}&=\frac {\frac {\Delta_h^{n-1}[f](a+h)}{(n-1)!h^{n-1}}-\frac{\Delta_h^{n-1}[f](a)}{(n-1)!h^{n-1}}}{x_n-x_0} \quad x_n-x_0=nh \\ \end{align}

### 無窮級數

\begin{align} f(x) &= f(a) + \lim_{h \to 0}\sum_{k=1}^\infty \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\ &= f(a) + \sum_{k=1}^\infty \frac{d^k}{dx^k}f(a) \frac{(x-a)^k}{k!}. \\ \end{align}

## 参考

1. ^ 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅（编） 第六章 第2节 Newton插值. P204.
2. ^ 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅（编） 第六章 第2节 Newton插值. P205.
3. ^ Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1