差分

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差分,又名差分函數差分運算,是数学中的一个概念。它将原函数 \ f(x) 映射\ f(x+a)-f(x+b)。差分運算,相應於微分運算,是微积分中重要的一个概念。

微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

定义[编辑]

差分分为前向差分逆向差分

前向差分[编辑]

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数\ f(x),如果在等距节点:

x_k = x_0 + kh, (k = 0,1,...,n)
\ \Delta f(x_k)=f(x_{k+1})-f(x_k)

则称\ \Delta f(x),函数在每个小区间上的增量y_{k+1} - y_k\ f(x)一阶差分。[1]

在微积分学中的有限差分(finite differences),前向差分通常是微分离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当\ f(x)多项式时,前向差分为Delta算子(称\Delta为差分算子[2]),一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。

逆向差分[编辑]

对于函数\ f(x_k),如果:

\ \nabla f(x_k)=f(x_k)-f(x_{k-1}).\,

则称\ \nabla f(x_k)\ f(x)的一阶逆向差分。

差分的阶[编辑]

一阶差分的差分为二阶差分,二阶差分的差分为三阶差分,其余类推。记:

\ \Delta^n [f](x)\ f(x)\ n阶差分。

如果

\ \Delta^n [f](x) \ = \Delta \{ \Delta^{n-1} [f](x) \}
\ = \Delta^{n-1} [f](x+1) - \Delta^{n-1} [f](x)

根据数学归纳法,有

\ \Delta^n [f](x) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} (-1)^{n-i} f(x+i)

其中,\ {n \choose i}二项式系数

特别的,有

\ \Delta^2 [f](x) = f(x+2) - 2f(x+1) + f(x)

前向差分有时候也称作数列二项式变换

差分的性质[编辑]

对比解析函数中的微分的属性,差分的性质有:

\Delta C=0
  • 线性:如果 \ a\ b 为常数,则有
\Delta (af+bg) = a \Delta f + b \Delta g
\Delta (fg) = f \Delta g + g \Delta f + \Delta f \Delta g
\nabla (f g) = f \nabla g + g \nabla f - \nabla f \nabla g
\nabla \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{1}{g} \det \begin{bmatrix} \nabla f & \nabla g \\ f & g \end{bmatrix} \det {\begin{bmatrix} g & \nabla g \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}^{-1}
\Delta \left( \dfrac{f}{g} \right) = \dfrac{1}{g} \det \begin{bmatrix} \Delta f & \Delta g \\ f & g \end{bmatrix} \det {\begin{bmatrix} g & \Delta g \\ -1 & 1 \end{bmatrix}}^{-1}
\nabla\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \nabla f - f \nabla g}{g \cdot (g - \nabla g)}
\Delta\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \Delta f - f \Delta g}{g \cdot (g + \Delta g)}
\sum_{n=a}^{b} \Delta f(n) = f(b+1)-f(a)
\sum_{n=a}^{b} \nabla f(n) = f(b)-f(a-1)

牛頓級數[编辑]

自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由“牛頓前向差分方程”的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五[3],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

單位步長情況[编辑]

x值間隔為單位步長1時,有:

\begin{align}
f(x) &= f(a) + \sum_{k=1}^n \Delta^k [f](a)  \prod_{i=1}^{k} \frac{((x-a)-i+1)}{i} \\
 &= \sum_{k=0}^n {x-a \choose k}~ \Delta^k [f](a) \\
\end{align}

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

{x \choose k} = \frac{(x)_k}{k!} \quad\quad (x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)

二項式係數,其中的(x)k是“下降階乘冪”,空乘積(x)0被定義為1。這裡的Δk[f](x)是“前向差分”的特定情況,即間距h=1。

實例[编辑]

為了展示牛頓的這個公式是如何使用的,舉例等比數列 2, 4, 8...的前幾項,可以找到一個多項式重新生成這些值,首先計算一個差分表,接著將對應於x0(標示了下劃線)的這些差分代換入公式,


\begin{matrix}
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
 x & \Delta^0 & \Delta^1 & \Delta^2 \\
\hline
1&\underline{2}& & \\
 & &\underline{2}& \\
2&4& &\underline{2} \\
 & &4& \\
3&8& & \\
\hline
\end{array}
& 
\quad \begin{matrix}
f(x)=\Delta^0 \cdot 1 +\Delta^1 \cdot \dfrac{(x-x_0)}{1!} + \Delta^2 \cdot \dfrac{(x-x_0)(x-x_0-1)}{2!} \quad (x_0=1)\\
 \\
=2 \cdot 1 + 2 \cdot \dfrac{x-1}{1} + 2 \cdot \dfrac{(x-1)(x-2)}{2} \\
 \\
=2 + 2(x-1) + (x-1)(x-2) \\
\end{matrix}
\end{matrix}

一般情況[编辑]

對於x值間隔為非一致步長或一致但非單位量的情況,牛頓計算均差分英语divided differences,對於上述前向差分一般情況,插值公式為:


\begin{align}
f(x) &= f(a) + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\
 &=f(a) + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!} \prod_{i=0}^{k-1} (\frac{x-a}{h}-i).
\end{align}

在最終公式中hk被消去掉了,不介入新的符號或記法,這裡的均差分為:

\begin{align}
\Delta_h^0[f](a)&=f(a) \\
\frac{\Delta_h^1[f](a)}{h} &=\frac {\Delta_h^0[f](a+h)-\Delta_h^0[f](a)}{x_1-x_0} \quad x_1-x_0=h \\
\vdots & \\
\frac{\Delta_h^n[f](a)}{n!h^n}&=\frac {\frac {\Delta_h^{n-1}[f](a+h)}{(n-1)!h^{n-1}}-\frac{\Delta_h^{n-1}[f](a)}{(n-1)!h^{n-1}}}{x_n-x_0}  \quad x_n-x_0=nh \\
\end{align}

這展示了公式中的階乘是如何出現的,對於非一致步長的情況則不會出現階乘。

無窮級數[编辑]

牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了ln(1+x)的無窮級數,在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的無窮級數,在1669年的《分析學》中發表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex的無窮級數;萊布尼茨在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研討了“有限差分”方法,其中論述了他在1712年得出的泰勒定理,這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出,而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差分的步長取趨於0的極限,得出:


\begin{align}
f(x) &= f(a) + \lim_{h \to 0}\sum_{k=1}^\infty \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\
 &= f(a) + \sum_{k=1}^\infty \frac{d^k}{dx^k}f(x) \frac{(x-a)^k}{k!}. \\
\end{align}

参考[编辑]

  1. ^ 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P204.
  2. ^ 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P205.
  3. ^ Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

参见[编辑]

参考文献[编辑]