巴塔林-维尔可维斯基代数

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Batalin-Vilkovisky代数Batalin-Vilkovisky algebra,简称BV代数)是Batalin和Vilkovisky在研究规范场量子化过程中发现的一种代数结构[1][2]。他们所提出的量子化方法(称为BV formailism或者BV quantization),是一种十分普遍而且有效的量子化方法,正受到越来越多的量子场论学家和弦理论家的重视和应用,而BV代数也越来越受到数学家们的重视。

定义[编辑]

\; V\; 数域\; k\; 上的一个分次(graded)线性空间\; V\; 上的一个BV代数结构是三元组\; (V,\bullet,\Delta)\; ,满足以下两个关系:

  1. \; (V,\bullet)\; \; k\; 上的分次、交换、结合的代数(algebra);
  2. \; \Delta\; 是关于\; \bullet\; 二阶微分算子,即\; \Delta\; 的度数为1,\; \Delta^2=0\; ,并且对任给的\; a,b,c\in V\; ,
\; 
\begin{matrix}
\Delta(a\bullet b\bullet c)&=&\Delta(a\bullet b)\bullet c+(-1)^{|a|}a\bullet \Delta(b\bullet c)+(-1)^{(|a|+1)|b|}b\bullet \Delta (a\bullet c)\\
&&-(\Delta a)\bullet b\bullet c-(-1)^{|a|}a\bullet (\Delta b)\bullet c-(-1)^{|a|+|b|}a \bullet b\bullet (\Delta c).\; \end{matrix}

在上面的定义中,如果令

\;[a,b]=(-1)^{|a|}\Delta(a\bullet b)-(-1)^{|a|}(\Delta a)\bullet b-a\bullet (\Delta b),\;

则可以验证,\; (V,\bullet,[\;,\;])\; 形成一个Gerstenhaber代数。因此可以说,BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数。不仅如此,\; \Delta\; 还是关于\; [\;,\;]\; 导子(derivation),即

\;\Delta[a,b]=[\Delta a,b]+(-1)^{|a|+1}[a,\Delta b],\;

使得\;(V,[\;,\;],\Delta)形成一个微分分次李代数(differential graded Lie algebra, DGLA)。

例子[编辑]

迄今为止所发现的BV代数的例子几乎都与数学物理有关。

  1. \; M\; 是一个奇的辛流形(odd symplectic manifold),记\; C^{\infty}(M)\; \; M\; 上光滑函数组成的集合。我们有\; C^{\infty}(M)\; 形成一个分次交换结合的代数,记其乘法为\; \bullet\; 。设\; (x^1,\cdots,x^n;\eta^1,\cdots,\eta^n)\; \; M\; 上的一组Darboux坐标,令
    \; \Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial \eta^i},\;
    则可以验证,\; (C^{\infty}(M),\bullet,\Delta)\; 形成一个BV代数,参见[3][4]
  2. 田刚(G. Tian)在关于卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold)的复结构形变空间是光滑的证明中,实际上证明了控制复结构形变的微分分次李代数是一个BV代数[5]
  3. B. Lian和G. Zuckerman证明了量子场论的数学背景(background,指从量子场论中抽象出来的代数结构)有一个BV代数结构[6]
  4. E. Getzler用不同于Lian和Zuckerman的方法证明,一个二维拓扑共形场论(TCFT,此处采用Segal的定义)的同调群有一个自然的BV代数结构[7]
  5. M. Chas和D. Sullivan证明,一个流形的自由环路空间(free loop space)的同调群上有一个BV代数结构[8]

背景[编辑]

正如上面所述,BV代数跟量子场论有密切的联系。事实上,对一些数学物理学家来说,一个量子场论就指一个BV代数以及其中一个元素\; S\;,该元素满足以下方程:

\;\Delta e^S=0\quad \Big(\;等价于\;\Delta S+\frac{1}{2}[S,S]=0\Big),\;

称为Master方程,有时候\;S\;必须满足所谓的量子Master方程,即

\;\Delta e^{\frac{S}{\hbar}}=0.\;

另外,BV代数跟弦理论里面的镜像对称(Mirror Symmetry)也有密切的关系。事实上,镜像对称的A模型B模型都有一个BV代数,而它们相应的Master方程的解空间上都有一个所谓弗罗贝尼乌斯流形的结构。镜像对称的一种表述就是,这两个Frobenius流形是同构的。

BV代数的研究是目前数学特别是数学物理中一个比较活跃的领域,关于它的研究仍在进行之中。

参考文献[编辑]

  1. ^ I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization. Phys. Lett. B 102 (1981), no. 1, 27-31.
  2. ^ I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. Phys. Rev. D (3) 28 (1983), no. 10, 2567-2582.
  3. ^ A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, arxiv: hep-th/9205088
  4. ^ D. Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkovisky formalism, arxiv: math.QA/0402057
  5. ^ G. Tian, Smoothness of the universal deformation space of compact Calabi-Yau manifolds and its Petersson-Weil metric. Mathematical aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986), 629-646, Adv. Ser. Math. Phys., 1, World Sci. Publishing, Singapore, 1987.
  6. ^ B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
  7. ^ E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories. Comm. Math. Phys. 159 (1994), no. 2, 265-285.
  8. ^ M. Chas and D. Sullivan, String topology, arxiv: math-GT/9911159.