巴尼斯G函数

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巴尼斯G函数超级阶乘函数在复数上的扩展。它与Γ函数K函数以及格莱舍常数(Glaisher constant)有关。以数学家欧尼斯特·巴尼斯(Ernest William Barnes)的名字命名。[1]

巴尼斯G函数可以通用魏尔施特拉斯分解定理的形式定义为:

G(z+1)=(2\pi)^{z/2} e^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)^ne^{-z+z^2/(2n)}\right].

其中,γ表示欧拉-马歇罗尼常数。

差分方程、函数方程与特殊值[编辑]

巴尼斯G函数满足差分方程

G(z+1)=\Gamma(z)G(z).

特殊地,G(1)=1. 从此方程可推出G取整数自变量时有:

G(n)=\begin{cases} 0&\mbox{if }n=0,-1,-2,\dots\\ \prod_{i=0}^{n-2} i!&\mbox{if }n=1,2,\dots\end{cases}.

因此,

G(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{K(n)}.

其中,\Gamma(n)表示Γ函数K(n)表示K函数

另外,在满足条件\frac{d^3}{dx^3}G(x)\geq 0时,差分方程唯一确定一个G函数。[2].

由G函数的差分方程和Γ函数的函数方程可以得到(由Hermann Kinkelin提出):

 G(1-z) = G(1+z)\frac{ 1}{(2\pi)^z} \exp \int_0^z \pi x \cot \pi x \, dx.

乘法公式[编辑]

与Γ函数一样,G函数也有其乘法公式:
G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right).


G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right).

其中K是一个常数,定义为:

 K(n)= e^{-(n^2-1)\zeta^\prime(-1)} \cdot
n^{\frac{5}{12}}\cdot(2\pi)^{(n-1)/2}\,=\,
(Ae^{-\frac{1}{12}})^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi)^{(n-1)/2}.

其中\zeta^\prime表示黎曼ζ函数导函数A则表示为格莱舍常数。

\log \,G(z+1 )渐近展开为(由巴尼斯提出):

 \log G(z+1)=\frac{1}{12} - \log A + \frac{z}{2}\log 2\pi +\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z -\frac{3z^2}{4}+
\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}} + O\left(\frac{1}{z^{2N+2}}\right).

其中B_{k}为伯努利数,A为格莱舍常数。(需要注意的是,在巴尼斯的时代,伯努利数B_{2k}习惯写成(-1)^{k+1} B_k 。)

相关条目[编辑]

参考[编辑]

  1. ^ E.W.Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264-314.
  2. ^ M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL(2,\mathbb{Z}), Astérisque 61, 235-249 (1979).