巴尼斯G函数

巴尼斯G函数是超级阶乘函数在复数上的扩展。它与Γ函数、K函数以及格莱舍常数（Glaisher constant）有关。以数学家欧尼斯特·巴尼斯（Ernest William Barnes）的名字命名。

巴尼斯G函数可以通用魏尔施特拉斯分解定理的形式定义为：

$G(z+1)=(2\pi)^{z/2} e^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)^ne^{-z+z^2/(2n)}\right].$

其中，γ表示欧拉-马歇罗尼常数。

差分方程、函数方程与特殊值

巴尼斯G函数满足差分方程

$G(z+1)=\Gamma(z)G(z).$

特殊地，G(1)=1. 从此方程可推出G取整数自变量时有：

$G(n)=\begin{cases} 0&\mbox{if }n=0,-1,-2,\dots\\ \prod_{i=0}^{n-2} i!&\mbox{if }n=1,2,\dots\end{cases}.$

因此，

$G(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{K(n)}.$

其中，$\Gamma(n)$表示Γ函数，$K(n)$表示K函数。

另外，在满足条件$\frac{d^3}{dx^3}G(x)\geq 0$时，差分方程唯一确定一个G函数。.

由G函数的差分方程和Γ函数的函数方程可以得到（由Hermann Kinkelin提出）：

$G(1-z) = G(1+z)\frac{ 1}{(2\pi)^z} \exp \int_0^z \pi x \cot \pi x \, dx.$

乘法公式

与Γ函数一样，G函数也有其乘法公式：$G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right).$

$G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right).$

其中K是一个常数，定义为：

$K(n)= e^{-(n^2-1)\zeta^\prime(-1)} \cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot(2\pi)^{(n-1)/2}\,=\, (Ae^{-\frac{1}{12}})^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi)^{(n-1)/2}.$

其中$\zeta^\prime$表示黎曼ζ函数的导函数，$A$则表示为格莱舍常数。

$\log \,G(z+1 )$可渐近展开为（由巴尼斯提出）：

$\log G(z+1)=\frac{1}{12} - \log A + \frac{z}{2}\log 2\pi +\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z -\frac{3z^2}{4}+ \sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}} + O\left(\frac{1}{z^{2N+2}}\right).$

其中$B_{k}$为伯努利数，$A$为格莱舍常数。（需要注意的是，在巴尼斯的时代，伯努利数$B_{2k}$习惯写成$(-1)^{k+1} B_k$。）

相关条目

• Γ函数
• K函数