巴拿赫不动点定理

巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡·巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。

定理

设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : X → X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数q < 1，使得对于所有X内的x和y，都有：

$d(T(x),T(y)) \le q\cdot d(x,y)$

那么映射T在X内有且只有一个不动点x^*（这就是说，Tx^* = x^*）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从X内的任意一个元素x₀开始，并定义一个迭代序列x_n = Tx_n-1，对于n = 1，2，3，……。这个序列收敛，且极限为x^*。以下的不等式描述了收敛的速率：

$d(x^*, x_n) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0).$

等价地：

$d(x^*, x_{n+1}) \leq \frac{q}{1-q} d(x_{n+1},x_n)$

且

$d(x^*, x_{n+1}) \leq q d(x_n,x^*).$

满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。

注意对于所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映射T : [1,∞) → [1,∞)，T(x) = x + 1/x，就没有不动点。但是，如果空间X是紧的，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。

当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是恰当地定义X，使得T实际上把元素从X映射到X，也就是说，Tx总是X的一个元素。

证明

选择任何$x_0 \in (X, d)$。对于每一个$n \in \{1, 2, \ldots\}$，定义$x_n = Tx_{n-1}\,\!$。我们声称对于所有的$n \in \{1, 2, \dots\}$，以下等式都成立：

$d(x_{n+1}, x_n) \leq q^n d(x_1, x_0)$。

我们用数学归纳法来证明。对于$n = 1\,\!$的情况，命题是成立的，这是因为：

$d(x_{1+1}, x_1) = d(x_2, x_1) = d(Tx_1, Tx_0) \leq qd(x_1, x_0)$。

假设命题对于某个$k \in \{1, 2, \ldots\}$是成立的。那么，我们有：

$d(x_{(k + 1) + 1}, x_{k + 1})\,\!$	$= d(x_{k + 2}, x_{k + 1})\,\!$
	$= d(Tx_{k + 1}, Tx_k)\,\!$
	$\leq q d(x_{k + 1}, x_k)$
	$\leq q \cdot q^kd(x_1, x_0)$
	$= q^{k + 1}d(x_1, x_0)\,\!$。

从第三行到第四行，我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理，对于所有的$n \in \{1, 2, \ldots\}$，以上的命题都成立。

设$\epsilon > 0\,\!$。由于$0 \leq q < 1$，我们便可以找出一个较大的$N \in \{1, 2, \ldots\}$，使得：

$q^N < \frac{\epsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)}$。

利用以上的命题，我们便有对于任何$m\,\!$，$n \in \{0, 1, \ldots\}$以及$m > n \geq N$，都有：

$d\left(x_m, x_n\right)$	$\leq d(x_m, x_{m-1}) + d(x_{m-1}, x_{m-2}) + \cdots + d(x_{n+1}, x_n)$
	$\leq q^{m-1}d(x_1, x_0) + q^{m-2}d(x_1, x_0) + \cdots + q^nd(x_1, x_0)$
	$= d(x_1, x_0)q^n \cdot \sum_{k=0}^{m-n-1} q^k$
	$< d(x_1, x_0)q^n \cdot \sum_{k=0}^\infty q^k$
	$= d(x_1, x_0)q^n \frac{1}{1-q}$
	$= q^n \frac{d(x_1, x_0)}{1-q}$
	$< \frac{\epsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)}\cdot\frac{d(x_1, x_0)}{1-q}$
	$= \epsilon\,\!$。

第一行的不等式可以从三角不等式推出；第四行的级数是一个几何级数，其中$0 \leq q < 1$，因此它收敛。以上表明$\{x_n\}_{n\geq 0}$是$(X, d)\,\!$内的一个柯西序列，所以根据完备性，它是收敛的。因此设$x^* = \lim_{n\to\infty} x_n$。我们作出两个声明：第一，$x^*\,\!$是$T\,\!$的一个不动点，也就是说，$Tx^* = x^*\,\!$；第二，$x^*\,\!$是$T\,\!$在$(X, d)\,\!$中的唯一的不动点。

为了证明第一个命题，我们注意到对于任何的$n \in \{0, 1, \ldots\}$，都有：

$0 \leq d(x_{n+1}, Tx^*) = d(Tx_n, Tx^*) \leq q d(x_n, x^*)$。

由于当$n \to \infty$时，$qd(x_n, x^*) \to 0$，因此根据夹挤定理，可知$\lim_{n\to\infty} d(x_{n+1}, Tx^*) = 0$。这表明当$n \to \infty$时，$x_n \to Tx^*$。但当$n \to \infty$时，$x_n \to x^*$，且极限是唯一的；因此，一定是$x^* = Tx^*\,\!$的情况。

为了证明第二个命题，我们假设$y\,\!$也满足$Ty = y\,\!$。那么：

$0 \leq d(x^*, y) = d(Tx^*, Ty) \leq q d(x^*, y)$。

由于$0 \leq q < 1$，因此上式意味着$0 \leq (1-q) d(x^*, y) \leq 0$，这表明$d(x^*, y) = 0\,\!$，于是根据正定性，$x^* = y\,\!$，定理得证。

逆定理

巴拿赫不动点定理有许多逆定理，以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的：

设$f:X\rightarrow X$为一个抽象集合的映射，使得每一个迭代f ⁿ都有一个唯一的不动点。设q为一个实数，0 < q < 1。那么存在X上的一个完备度量，使得f是压缩映射，且q是压缩常数。

推广

关于巴拿赫不动点定理的推广，请参见无穷维空间中的不动点定理。

参考文献

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
• Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
• Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. 2001. ISBN 978-0-471-41825-2. 
• William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.
• Bourbawiki上巴拿赫不动点定理的证明