巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种。巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑。这种滤波器最先由英国工程师斯替芬·巴特沃斯（Stephen Butterworth）在1930年发表在英国《无线电工程》期刊的一篇论文中提出的。

一级巴特沃斯低通滤波器的波特图

一级至五级巴特沃斯低通滤波器

二级巴特沃斯低通滤波器

巴特沃斯滤波器的特性 [编辑]

巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波得图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减少，趋向负无穷大。

一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝，每十倍频20分贝。二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝、三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18分贝、如此类推。巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且也是唯一的无论阶数，振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。只不过滤波器阶数越高，在阻频带振幅衰减速度越快。其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低级数的振幅对角频率有不同的形状。

传递函数 [编辑]

巴特沃斯低通滤波器可用如下振幅的平方对频率的公式表示:

$\left |H(\omega)\right|^2 = \frac {1}{1+\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^{2n}} = \frac{1}{1+\epsilon^2\left(\frac{\omega}{\omega_p}\right)^{2n}}$

其中, n = 滤波器的阶数
ω_c =截止频率 =振幅下降为 -3分贝时的频率
ω_p = 通频带边缘频率
1/(1 + ε²) = |H(ω)|²在通频带边缘的数值.

在二维复平面上 $\left |H(\omega)\right|^2=H(s)H^* (s)=H(s)H(-s)$ 在 s = jω点的数值= |H(ω)|², 因此通过解析延拓:

$H(s)H(-s) = \frac {1}{1+\left (\frac{-s^2}{\omega_c^2}\right)^n}$

上述函数的极点等距离地分布在半径为ω_c的圆上

$\frac{-s^2}{\omega_c^2} = (-1)^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{j(2k+1)\pi}{n}}$

k = 0, 1, 2, ....., n-1
因此,

$s_k = \omega_ce^{\frac{j\pi}{2}}e^{\frac{j(2k+1)\pi}{2n}}$

k = 0, 1, 2, ...., n-1

n阶巴特沃斯低通滤波器的振幅和频率关系可用如下的公式表示：

$G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + (\omega / \omega_\mathrm{c}) ^ {2 n}} }$

其中：

G 表示滤波器的放大率，
H 表示傳遞函數，
j 是虚数单位，
n 表示滤波器的级数，
ω 是信号的角频率，以弧度/秒为单位，
$\omega_\mathrm{c}$ 是振幅下降3分贝时的截止频率。

令截止频率 $\omega_\mathrm{c} = 1$ ), 将上列公式规定一化成为：

$G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + \omega ^ {2 n}} }$

根据衰减度求滤波器的阶数 [编辑]

令 1/A= $G_n(\omega)$

$n = \frac{log_{10}(A^2-1)}{2log_{10}(\omega)}$

例：在 $(\omega)=2$ 时 $G_n(\omega)$ =0.005

A= 200, n=7.6, 取大一号整数，即需要 8 阶巴特沃斯滤波器。

二阶巴特沃斯低通滤波器的波特图

幅度最平坦的滤波器 [编辑]

g的头(2n-1)次导数在ω = 0时为零，说明放大率对 ω 是常数。因此巴特沃斯滤波器又被称为最平坦的滤波器。

高频衰减 [编辑]

${{\left | H(j \omega) \right |^2}_{dB}} = {20n}{log_{10}{\omega}}$

因此，n阶巴特沃斯低通滤波器的高频衰减为每十倍频20n 分贝。

实例 [编辑]

k阶巴特沃斯滤波器的考尔第一型电子线路图如下: 其中：

电容 $C_k = 2 sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]$ ; k = 奇数
电感 $L_k = 2 sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]$ ; k = 偶数

规一化的巴特沃斯多项式 [编辑]

n	多项式因子 $B_n(s)$
1	$(s+1)$
2	$s^2+1.414s+1$
3	$(s+1)(s^2+s+1)$
4	$(s^2+0.7654s+1)(s^2+1.8478s+1)$
5	$(s+1)(s^2+0.6180s+1)(s^2+1.6180s+1)$
6	$(s^2+0.5176s+1)(s^2+1.414s+1)(s^2+1.9318s+1)$
7	$(s+1)(s^2+0.4450s+1)(s^2+1.247s+1)(s^2+1.8022s+1)$
8	$(s^2+0.3986s+1)(s^2+1.111s+1)(s^2+1.6630s+1)(s^2+1.9622s+1)$