布尔不等式

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布尔不等式Boole's inequality),由乔治·布尔提出,指对于全部事件概率总和不大于单个事件的概率总和。

对于事件A1、A2、A3、......:

P(\bigcup_{i} A_i) \le \sum_i P(A_i)

测度论上,布尔不等式满足σ次可加性

证明[编辑]

布尔不等式可以用数学归纳法证明。

对于1个事件:

P(A_1) \le P(A_1)

对于n个事件:

P(\bigcup_{i=_1}^{n} A_i) \le \sum_{i=_1}^{n} P(A_i)
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
P(\bigcup_{i=_1}^{n+1} A_i) = P(\bigcup_{i=_1}^n A_i) + P(A_{n+1}) - P(\bigcup_{i=_1}^n A_i \cap A_{n+1})
P(\bigcup_{i=_1}^n A_i \cap A_{n+1}) \ge 0,
P(\bigcup_{i=_1}^{n+1} A_i) \le P(\bigcup_{i=_1}^n A_i) + P(A_{n+1})
P(\bigcup_{i=_1}^{n+1} A_i) \le \sum_{i=_1}^{n} P(A_i) + P(A_{n+1}) = \sum_{i=_1}^{n+1} P(A_i).

Bonferroni不等式[编辑]

布尔不等式可以推导出事件并集上界下界,其关系称为Bonferroni不等式

定义:

S_1 = \sum_{i=1}^n P(A_i),
S_2 = \sum_{1\le i<j\le n} P(A_i \cap A_j),
S_k = \sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n} P(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k} )

对于奇数k:

P( \bigcup_{i=1}^n A_i ) \le \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1} S_j

对于偶数k:

P( \bigcup_{i=1}^n A_i) \ge \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1} S_j

参见[编辑]

参考资料[编辑]