布尔值模型

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数理逻辑中,布尔值模型是普通的塔斯基主义者的结构模型概念的推广,在其中命题真值不被限定为"真"和"假",而是从某个固定的完全布尔代数中取值,布尔值模型是 Dana ScottRobert M. SolovayPetr Vopěnka 在1960年代为了帮助理解 Paul Cohen力迫方法而介入的。

定义[编辑]

固定一个完全布尔代数 B一阶语言 L,后者由一组常量符号函数符号关系符号构成。L 的布尔值模型因此就由全集 M,它是元素(或名字)的集合,和对这些符号的释义组成。特别是,这个模型必须为 L 的每个常量符号指派一个 M 的元素,并为 L 的每个 n-元函数符号 fn-元组 <a0,...,an-1> 中的每一个指派 M 的元素,这个模型必须为项 f(a0,...,an-1) 指派 M 的元素。

关系符号和等式的释义是更加复杂的: 对 M 每对元素 a, b,模型必须为表达式 a=b 指派一个真值 ||a=b|| ;这个真值取自 B。类似的,对于 L 的每个 n-元关系符号 Rn-元组 <a0,...,an-1> 中的每一个指派 M 的元素,这个模型必须指派 B 的一个元素为 ||R(a0,...,an-1)|| 的真值。

需要写些文字来解释在释义等式上的额外限制,保证它是等价关系并且这个关系顾及了等价事物的代换。

其他公式和句子的释义[编辑]

其他公式可以使用布尔代数来释义;对于命题连结词这是很容易的;你可以简单的在子公式的真值上应用对应的布尔运算符。例如,如果 φ(x) 和 ψ(y,z) 分别是带有一个和两个自由变量的公式,并且是要代换 xyz 为模型的全集的元素 abc,则

\phi(a)\land\psi(b,c)

的真值简单的是

||\phi(a)\land\psi(b,c)||=||\phi(a)||\ \land\ ||\psi(b,c)||

对于量化的公式,我们需要利用布尔代数 B 的完全性。如果 φ(x) 是带有自由变量 x(可能还有其他我们忽略的自由变量),则

||\exists x\phi(x)||=\bigvee_{a\in M}||\phi(a)||

这里右手端要被理解为在 B 中所有真值 ||φ(a)|| 的上确界,这里 a 的范围在 M 之上。

一个公式的真值有时被称为它的可能性。它不能理解为一般意义上概率,它们不是实数而是完全布尔代数的 B 的元素。

集合论的布尔值模型[编辑]

给定一个完全布尔代数 B,有一个指示为 VB 的布尔值模型,它是冯·诺伊曼全集 V 的布尔取值的类似者。(严格的说,VB真类,所以我们需要适当的重新解释对于模型意味着什么)。非形式的说,我们认为 VB 是像“布尔值集合”的某种东西;换句话说,布尔值集合,不再有定义分明的元素和非元素,而有带有是这个集合的元素的特定“可能性”的对象。这个“可能性”是 B 的一个元素,不是实数。这不同于模糊集合的概念。

布尔值集合的(“可能的”)元素,依次也是布尔值集合,它的元素也是布尔值集合,以此类推。要得到布尔值集合的非循环定义,我们需要有层次的建造它们。所以对于 V 的每个序数 α 我们定义集合 VαB 为:

VαB 是 β<α 的 VβB 的并集,如果 α 是极限序数(包括 0)。
Vα+1B 是从 VαBB 的所有函数的集合。(这种函数表示 VαB 的“可能的”子集;如果 f 是这种函数,则对于任何 xVαBf(x) 是 x 在这个集合中的可能性)。

我们定义类 VB 是所有集合 VαB 的并集。

有可能相对化这个完整构造于 ZF (或者有时它的片段)的某个传递模型 M。在这种情况下我们通过应用上述构造于 M 内部而构造布尔值模型 MB。对传递模型的限制是不严重的,因为Mostowski塌陷引理蕴涵了所有合理的(良基的外延)模型同构于传递模型。(如果模型 M 不是传递事物而使其变得更加杂乱,因为 M 对什么意味着是“函数”或“集合”的释义可能不同于“外延”释义)。

接着我们需要在集合 VB 上定义两个 B-值的等于关系和成员关系。(在 VB 上的 B-值关系是从 VB×VBB 的函数)。为了避免混淆于通常的等式和成员关系,对于在 VB 中的 xy,它们指示为 ||x=y|| 和 ||xy||。它们定义如下:

||xy|| 被定义为 ∑t∈Dom(y) ||x=t|| ∧ y(t)   ("xy 中如果它等于在 y 中的某个东西")
||x=y|| 被定义为 ||xy||∧||y⊆x||   ("x 等于 y 如果 xy 相互都是对方的子集"),这里的
||xy|| 被定义为 ∏t∈Dom(x) x(t)⇒||ty||   ("xy 的子集如果所有 x 的元素都在 y 中")

符号 ∑ 和 ∏ 意味着我们在完全布尔代数 B 中采用最小上界和最大下界。第一眼看来上述定义好像是循环的: ||  ∈ || 倚赖于 || = ||,它依赖于 || ⊆ ||,它依赖于 || ∈ ||。但是闭合检查证实了 || ∈ || 的定义只对于更小阶的元素依赖于 || ∈ ||,所以 || ∈ || 和 ||  = || 是从 VB×VBB 的良好定义的函数。

最后我们需要检查在 VB 上的这两个 B-值的关系 || ∈ || 和 || = || 使 VB 成为集合论的布尔值模型。没有自由变量的每个一阶集合论的句子都在 B 中有一个值,我们需要检查等式的所有公理和 ZF 集合论的所有公理(没有自由变量的)有 B 的元素“真”的值。这是直接了当的,但是要花很长时间因为有很多不同的公理需要检查。

引用[编辑]

  • Bell, J. L. (1985) Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory, Oxford. ISBN 0-19-853241-5
  • Jech, Thomas. Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. 2002. ISBN 3540440852. 
  • Kunen, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland. 1980. ISBN 0-444-85401-0. 
  • Kusraev, A. G. and S. S. Kutateladze. Boolean Valued Analysis. Kluwer Academic Publishers. 1999. ISBN 0-7923-5921-6.  Contains an account of Boolean-valued models and applications to Riesz spaces, Banach spaces and algebras.
  • Manin, Yu. I. A Course in Mathematical Logic. Springer. 1977. ISBN 0387902430.  Contains an account of forcing and Boolean-valued models written for mathematicians who are not set theorists.

参见[编辑]