布拉菲晶格

在幾何學以及晶體學中，布拉菲晶格（又译布拉菲点阵）是為了紀念奥古斯特·布拉菲在固態物理學的貢獻命名的。每一組包含數個點，可以透過向量整數倍的移動到下一個點。每一個晶格是由一個或是多個原子所組成的基底所形成的，每個基底在每一個晶格點都會重複出現。因此晶格在任何一個晶格點看起來都是一樣的。三維布拉菲晶格只有14種可能。

布拉菲晶格的發展

這14種布拉菲晶格可以再分成7種晶系。 每一種晶系也可依中心原子的位置再分成6種特別的晶格，如：

• 簡單立方 (P): 晶格點只有在晶格的八個角
• 體心 (I): 除了在八個角有晶格點，在中心也有一個原子。
• 面心 (F): 除了在八個角有晶格點，在六個面的中心也有晶格點。
• 在特定的面有晶格點 (A)(B)(C): 除了在八個角有晶格點，在(A)(B)(C)其中幾組面的中心有晶格點。

並不是每一種晶系與依中心原子的位置的晶格都能組成14種布拉菲晶格。總共有 7 × 6 = 42 種組合，但是有些組合其實是相同的，例如， 單斜晶I晶格可以單斜晶C晶格，只要透過選不同的晶軸。同樣的， 所有的A- -晶格都可以以C或是P晶格來描述。這樣可以化簡成14個相異的布拉菲晶格，常見的布拉菲晶格列於下表：

晶系	布拉菲晶格
三斜晶系	P
單斜晶系	P	C
斜方晶系 （正交晶系）	P	C	I	F
四方晶系	P	I
三方晶系 （棱方晶系）	P
六方晶系	A
等軸晶系 （立方晶系）	P	I	F

每一個單位晶格的體積可以由 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c}$ 計算得知。其中 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$, 和 $\mathbf{c}$是晶格向量。各種布拉菲晶格的體積如下：

晶系	体积
三斜晶系	$abc \sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma}$
單斜晶系	$abc \sin\alpha$
斜方晶系	$abc$
四方晶系	$a^2c$
三方晶系	$a^3 \sqrt{1 - 3\cos^2\alpha + 2\cos^3\alpha}$
六方晶系	$\frac{3\sqrt{3\,}\, a^2c}{2}$
等軸晶系	$a^3$

參見

• translational symmetry
• lattice (group)
• classification of lattices
• 密勒指數