布拉菲晶格

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幾何學以及晶體學中,布拉菲晶格(又译布拉菲点阵)是為了紀念奥古斯特·布拉菲在固態物理學的貢獻命名的。每一組包含數個點,可以透過向量整數倍的移動到下一個點。每一個晶格是由一個或是多個原子所組成的基底所形成的,每個基底在每一個晶格點都會重複出現。因此晶格在任何一個晶格點看起來都是一樣的。三維布拉菲晶格只有14種可能。

布拉菲晶格的發展[编辑]

這14種布拉菲晶格可以再分成7種晶系。 每一種晶系也可依中心原子的位置再分成6種特別的晶格,如:

  • 簡單立方 (P): 晶格點只有在晶格的八個角
  • 體心 (I): 除了在八個角有晶格點,在中心也有一個原子。
  • 面心 (F): 除了在八個角有晶格點,在六個面的中心也有晶格點。
  • 在特定的面有晶格點 (A)(B)(C): 除了在八個角有晶格點,在(A)(B)(C)其中幾組面的中心有晶格點。

並不是每一種晶系與依中心原子的位置的晶格都能組成14種布拉菲晶格。總共有 7 × 6 = 42 種組合,但是有些組合其實是相同的,例如, 單斜晶I晶格可以單斜晶C晶格,只要透過選不同的晶軸。同樣的, 所有的A- -晶格都可以以C或是P晶格來描述。這樣可以化簡成14個相異的布拉菲晶格,常見的布拉菲晶格列於下表:

晶系 布拉菲晶格
三斜晶系 P
Triclinic
單斜晶系 P C
Monoclinic, simple Monoclinic, centered
斜方晶系
(正交晶系)
P C I F
Orthohombic, simple Orthohombic, base-centered Orthohombic, body-centered Orthohombic, face-centered
四方晶系 P I
Tetragonal, simple Tetragonal, body-centered
三方晶系
(棱方晶系)
P
Rhombohedral
六方晶系 A
Hexagonal
等軸晶系

(立方晶系)
P I F
Cubic, simple Cubic, body-centered Cubic, face-centered


每一個單位晶格的體積可以由 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c} 計算得知。其中 \mathbf{a},  \mathbf{b}, 和 \mathbf{c}是晶格向量。各種布拉菲晶格的體積如下:

晶系 体积
三斜晶系 abc \sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma}
單斜晶系 abc \sin\alpha
斜方晶系  abc
四方晶系  a^2c
三方晶系  a^3 \sqrt{1 - 3\cos^2\alpha + 2\cos^3\alpha}
六方晶系 \frac{3\sqrt{3\,}\, a^2c}{2}
等軸晶系  a^3


參見[编辑]