布朗桥

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2个相互独立的标准布朗桥

标准布朗桥 是概率论中常见的一个研究对象。 它是一种连续时间上的随机过程, 在0和1处取值为0.

注意不要和布朗运动混淆。

布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动(此处仅为意译)。

非标准的 布朗桥 只是在条件 \scriptstyle [B_{t_1}=a , B_{t_2}=b]下一般化的布朗桥。


定义[编辑]

标准的布朗桥 \scriptstyle (B_t,t \geq 0)为一个连续时间上的 随机过程 ,它的分布为在条件\scriptstyle B_0=B_1=0下的维纳过程 (Wiener Process)。

它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量 \scriptstyle  (B_{t_1},...,B_{t_n})在条件 \scriptstyle B_1=0下服从高斯分布。所以它可以由期望和协方差来刻画:

 \forall 0\leq t\leq 1, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathbb E[B_t|B_1=0]=0,
 \forall 0\leq s< t\leq 1, \,\, cov(B_s,B_t|B_1=0)=s(1-t).

定义的备注

事件\scriptstyle  [B_1=0] 的概率为0。 考虑满足

 \forall \varepsilon>0, \mathbb P[|B_1|<\varepsilon]>0.

的事件 \scriptstyle [|B_1|< \varepsilon], 我们可以考察条件分布 \scriptstyle  \mathbb P[\cdot||B_1|<\varepsilon] 。 由依分布收敛 可得:

 \mathbb P [\cdot | |B_1|<\varepsilon] \underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} \mathbb P [\cdot | |B_1|=0]

这给出了布朗桥的一个严格定义。


和其他随机过程的关系[编辑]

和布朗运动的关系[编辑]

性质1

\scriptstyle (W_t,t \geq 0) 为一个 维纳过程 (或者 布朗运动), 那么过程 \scriptstyle (B_t,0 \leq t \leq 1) :

 \displaystyle B_t = W_t - t W_1

为一个标准的布朗桥。

相互定义

\scriptstyle (B_t, 0 \leq t \leq 1) 为一个标准的布朗桥, Z 是一个正态随机变量,则过程 \scriptstyle (W^1_t,t \geq 0) et \scriptstyle (W^2_t,t \geq 0) :

W^1_t=B_t+tZ     et     W^2_t=B_{\frac{t}{T}}+\frac{t}{T}Z

\scriptstyle t \in[0,1]\scriptstyle t\in[0,T] 上的维纳过程。

性质 2

\scriptstyle (W_t,t\geq 0) 为一个 维纳过程, 则过程 \scriptstyle (B_t,0 \leq t\leq 1)

 B_t = (1-t)W_{\frac{t}{1-t}}

为一个标准布朗桥。

相互定义

\scriptstyle (B_t,0 \leq t \leq 1) 为一个标准的布朗桥, 那么过程 \scriptstyle (W_t,t \geq 0)

W_t=(1+t)B_{\frac{t}{1+t}}

为一个维纳过程。


扩散形式下的表达[编辑]

也可以认为布朗桥是一种扩散过程。 事实上, 如果 W 是一种标准的布朗桥,随机方程


dX_t=dW_t-\frac{X_t}{1-t}dt

初始条件X_0=0的解和布朗桥同分布。

事实上, X是一个 马氏过程,这个从布朗桥的定义中不容易看出。

性质[编辑]

\scriptstyle  (B_t,0 \leq t \leq 1) 为标准的布朗桥。

性质3

b 为一个实数,

 \mathbb P\left[\hbox{ there is a }t\in[0,1]\hbox{ s.t. }B_t=b\right]=e^{-2b^2}.

性质4

b 为一个正实数

 \mathbb P\left[\sup_{t\in[0,1]} |B_t| \geq b\right]=2\sum_{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^2b^2}.

性质 5

a et b 为2个正实数.

 \mathbb P\left[-a < B_t < b \, , \forall 0\leq t\leq 1\right]=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\left[e^{-2m^2(a+b)^2}-e^{-2((m+1)a+mb)^2}\right].

性质6

x 为一个正实数

 \mathbb P\left[\sup_{t\in[0,1]} B_t -\inf_{t\in[0,1]} B_t \geq x\right]=2\sum_{m\geq 1}(4m^2x^2-1)e^{-2m^2x^2}.


相关词条[编辑]

参考文献[编辑]

  • Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-00451-3. 
  • Revuz, Daniel; Yor, Marc. Continuous Martingales and Brownian Motion 2nd. New York: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-57622-3. 

备注[编辑]

该词条纯翻译自法语版维基词条。