布罗卡点

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三角形的布罗卡点,位于三个圆的交点

布罗卡点三角形内的特殊点。

定义[编辑]

在边长为abc的三角形ABC中,只存在一个点P,使得线段APBPCP分别与cab形成相同的角ω,也就是说,\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA。点P称为三角形ABC第一布罗卡点,而角ω则称为三角形的布罗卡角。以下的等式是成立的:

\cot\omega = \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma.\,

在三角形ABC中还有第二布罗卡点Q,使得线段AQBQCQ分别与bca形成相同的角。也就是说,\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC。第二布罗卡点与第一布罗卡点具有相同的布罗卡角。也就是说,\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC是相等的。

三角形的两个布罗卡点是密切相关的。实际上,三角形ABC的第一布罗卡点就是三角形ACB的第二布罗卡点。

作图[编辑]

作一个通过A和B的圆,与三角形的BC边相切。圆心位于AB的垂直平分线与过点B且与BC垂直的直线的交点。类似地,也作一个通过B和C且与AC相切的圆,以及一个通过A和C且与AB相切的圆。则三个圆相交于同一点,这个点就是三角形ABC的第一布罗卡点。

类似地,也可以作出ABC的第二布罗卡点。

参考文献[编辑]

  • Ross Honsberger, "The Brocard Points," Chapter 10 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, The Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1995.