布里渊函数和郎之万函数

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布里渊函数和郎之万函数(Brillouin and Langevin functions)是理想顺磁性材料研究中的一对特殊函数

布里渊函数[编辑]

布里渊函数[1][2]形式为:

B_J(x) = \frac{2J + 1}{2J} \coth \left ( \frac{2J + 1}{2J} x \right )
                - \frac{1}{2J} \coth \left ( \frac{1}{2J} x \right )

其中,x 为实数,J 为正整数或半整数,函数的值域为从-1(x \to -\infty)到1(x \to +\infty)。

布里渊函数是计算理想顺磁体的磁化强度时引入的。它描述了磁化强度M 与外加 磁场 B 、材料微观磁矩总角动量量子数英语total angular momentum quantum number J之间的关系。磁化强度由下式给出:[1]

M = N g \mu_B J \cdot B_J(x)

其中,N 单位体积内原子的数目,gg因子英语g-factor (physics)\mu_B玻尔磁子x 为外场中磁矩的塞曼能英语Zeeman energy与无规热能 k_B T之比:

x = \frac{g \mu_B J B}{k_B T}

其中,k_B波尔兹曼常数T 为绝对温度。

郎之万函数[编辑]

郎之万函数 (红线) 与 \tanh(x/3) (蓝线)。

在经典极限,磁矩可以连续地沿外场取向,J \to \infty,布里渊函数可以化简为郎之万函数,形式为:

L(x) = \coth(x) - \frac{1}{x}

高分子物理学中,受外力拉伸的理想高分子链的平均末端距也用郎之万方程描述:[3]

<R> = bN \left ( \coth(fb/k_BT) - \frac{1}{fb/k_BT} \right )

其中,b库恩长度英语Kuhn lengthN为高分子链长,f为施加在链末端的外力。

x为小量时,郎之万函数可由其截断的泰勒级数近似:


   L(x) = \tfrac{1}{3} x - \tfrac{1}{45} x^3 + \tfrac{2}{945} x^5 - \tfrac{1}{4725} x^7 + \dots

郎之万函数还可以由以下连分式近似:


L(x) = \frac{x}{3+\tfrac{x^2}{5+\tfrac{x^2}{7+\tfrac{x^2}{9+\ldots}}}}

郎之万函数的逆函数可由下式近似:[4]


   L^{-1}(x) \approx x \frac{3-x^2}{1-x^2},

其中,x的取值范围为(-1, 1)。

当x比较小时,一个更好的近似为:


   L^{-1}(x) = 3x \frac{35-12x^2}{35-33x^2} + O(x^7)

郎之万逆函数的泰勒级数为:[5]


   L^{-1}(x) = 3 x + \tfrac{9}{5} x^3 + \tfrac{297}{175} x^5 + \tfrac{1539}{875} x^7 + \dots

高温极限[编辑]

x \ll 1 时,即\mu_B B / k_B T 很小,磁矩可以由居里定律近似:

M = C \cdot \frac{B}{T}

其中 C = \frac{N g^2 J(J+1) \mu_B^2}{3k_B} 为常数, g\sqrt{J(J+1)} 为有效波尔磁子数目。

强场极限[编辑]

x\to\infty,布里渊函数的值趋于 1,材料的磁化强度饱和,磁矩的取向完全沿外场方向,于是有

M = N g \mu_B J

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (8th ed.), pages 303-4 ISBN 978-0-471-41526-8
  2. ^ Darby, M.I. Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization. Brit. J. Appl. Phys. 1967, 18 (10): 1415–1417. Bibcode:1967BJAP...18.1415D. doi:10.1088/0508-3443/18/10/307 
  3. ^ Michael Rubinstein and Ralph H. Colby. Polymer Physics. Oxford University Press. 2003: 76. ISBN 978-0-19-852059-7. 
  4. ^ Cohen, A. A Padé approximant to the inverse Langevin function. Rheologica Acta. 1991, 30 (3): 270–273. doi:10.1007/BF00366640. 
  5. ^ Johal, A. S.; Dunstan, D. J. Energy functions for rubber from microscopic potentials. Journal of Applied Physics. 2007, 101 (8): 084917. Bibcode:2007JAP...101h4917J. doi:10.1063/1.2723870.