布雷森漢姆直線演算法

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Bresenham直線演算法是用來描繪由兩點所決定的直線的演算法,它會算出一條線段在 n 維光柵上最接近的點。這個演算法只會用到較為快速的整數加法、減法和位元移位,常用於繪製電腦畫面中的直線。是計算機圖形學中最先發展出來的演算法。

經過少量的延伸之後,原本用來畫直線的演算法也可用來畫圓。且同樣可用較簡單的算術運算來完成,避免了計算二次方程式或三角函數,或遞歸地分解為較簡單的步驟。

以上特性使其仍是一種重要的演算法,並且用在繪圖儀繪圖卡中的繪圖晶片,以及各種圖形程式庫。這個演算法非常的精簡,使它被實作於各種裝置的韌體,以及繪圖晶片的硬體之中。

「Bresenham」至今仍經常作為一整個演算法家族的名稱,即使家族中絕大部份演算法的實際開發者是其他人。該家族的演算法繼承了 Bresenham 的基本方法並加以發展,詳見參考資料。

演算方法[编辑]

Bresenham直線演算法描繪的直線。

假設我們需要由 (x0, y0) 這一點,繪畫一直線至右下角的另一點(x1, y1),x,y分別代表其水平及垂直座標,并且 x1 - x0 > y1 - y0。在此我們使用電腦系統常用的座標系,即x座標值沿x軸向右增長,y座標值沿y軸向下增長。

因此x及y之值分別向右及向下增加,而兩點之水平距離為x_1-x_0且垂直距離為y1-y0。由此得之,該線的斜率必定介乎於1至0之間。而此算法之目的,就是找出在x_0x_1之間,第x行相對應的第y列,從而得出一像素點,使得該像素點的位置最接近原本的線。

對於由(x0, y0)及(x1, y1)兩點所組成之直線,公式如下:

y - y_0 = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} (x-x_0)

因此,對於每一點的x,其y的值是

\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} (x-x_0) + y_0

因為x及y皆為整數,但並非每一點x所對應的y皆為整數,故此沒有必要去計算每一點x所對應之y值。反之由於此線之斜率介乎於1至0之間,故此我們只需要找出當x到達那一個數值時,會使y上升1,若x尚未到此值,則y不變。至於如何找出相關的x值,則需依靠斜率。斜率之計算方法為m=(y_1-y_0)/(x_1-x_0)。由於此值不變,故可於運算前預先計算,減少運算次數。

要實行此算法,我們需計算每一像素點與該線之間的誤差。於上述例子中,誤差應為每一點x中,其相對的像素點之y值與該線實際之y值的差距。每當x的值增加1,誤差的值就會增加m。每當誤差的值超出0.5,線就會比較靠近下一個映像點,因此y的值便會加1,且誤差減1。

下列偽代碼是這算法的簡單表達(其中的plot(x,y)繪畫該點,abs返回的是絕對值)。雖然用了代價較高的浮点运算,但很容易就可以改用整數運算(詳見最佳化一節):

 function line(x0, x1, y0, y1)
     int deltax := x1 - x0
     int deltay := y1 - y0
     real error := 0
     real deltaerr := deltay / deltax    // 假設 deltax != 0 (非垂直線),
           // 注意:需保留除法運算結果的小數部份
     int y := y0
     for x from x0 to x1
         plot(x,y)
         error := error + deltaerr
         if abs(error) ≥ 0.5 then
             y := y + 1
             error := error - 1.0

一般化[编辑]

雖然以上的演算法只能繪畫由左下至右上,且斜率小於或等於1的直線,但我們可以擴展此演算法,使之可繪畫任何的直線。第一個擴展是繪畫反方向,即由右上至左下的直線。這可以簡單地透過在x0 > x1時交換起點和終點來做到。第二個擴展是繪畫斜率為負的直線。可以檢查y0y1是否成立;若該不等式成立,誤差超出0.5時y的值改為加-1。最後,我們還需要擴展該演算法,使之可以繪畫斜率絕對值大於1的直線。要做到這點,我們可以利用大斜率直線對直線y=x反射是一條小斜率直線的事實,在整個計算過程中交換 xy,並一併將plot的參數順序交換。擴展後的偽代碼如下:

 function line(x0, x1, y0, y1)
     boolean steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
     if steep then
         swap(x0, y0)
         swap(x1, y1)
     if x0 > x1 then
         swap(x0, x1)
         swap(y0, y1)
     int deltax := x1 - x0
     int deltay := abs(y1 - y0)
     real error := 0
     real deltaerr := deltay / deltax
     int ystep
     int y := y0
     if y0 < y1 then ystep := 1 else ystep := -1
     for x from x0 to x1
         if steep then plot(y,x) else plot(x,y)
         error := error + deltaerr
         if error ≥ 0.5 then
             y := y + ystep
             error := error - 1.0

以上的程序可以處理任何的直線,實作了完整的Bresenham直線演算法。

最佳化[编辑]

以上的程序有一個問題:電腦處理浮点运算的速度比較慢,而errordeltaerr的計算是浮點運算。此外,error的值經過多次浮點數加法之後,可能有累積誤差。使用整數運算可令演算法更快、更準確。只要將所有以上的分數數值乘以deltax,我們就可以用整數來表示它們。唯一的問題是程序中的常數0.5—我們可以透過改變error的初始方法,以及將error的計算由遞增改為遞減來解決。新的程序如下:

 function line(x0, x1, y0, y1)
     boolean steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
     if steep then
         swap(x0, y0)
         swap(x1, y1)
     if x0 > x1 then
         swap(x0, x1)
         swap(y0, y1)
     int deltax := x1 - x0
     int deltay := abs(y1 - y0)
     int error := deltax / 2
     int ystep
     int y := y0
     if y0 < y1 then ystep := 1 else ystep := -1
     for x from x0 to x1
         if steep then plot(y,x) else plot(x,y)
         error := error - deltay
         if error < 0 then
             y := y + ystep
             error := error + deltax

歷史[编辑]

Jack E. Bresenham於1962年在IBM發明了此演算法。據他本人表示,他於1963年在丹佛舉行的美国计算机协会全國大會上發表了該演算法,論文則登載於1965年的《IBM系統期刊》 (IBM Systems Journal) 之中。[1]Bresenham直線演算法其後被修改為能夠畫圓,修改後的演算法有時被稱為「Bresenham畫圓演算法」或中點畫圓演算法

參考資料[编辑]

  1. ^ Paul E. Black. Dictionary of Algorithms and Data Structures, 美國國家標準與技術研究院. http://www.nist.gov/dads/HTML/bresenham.html

參閱[编辑]

外部連結[编辑]