希尔伯特的23个问题

1900年，希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23道最重要的数学问题，这就是著名的希尔伯特的23个问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。

希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑发展将对数学的产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。

希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-18属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。

问题解決進度

以下列出希尔伯特的23個問題：

#	主旨	進展	說明
第一题	连续统假设	部分解决	1963年美国数学家保羅·柯恩以力迫法（forcing）證明連續統假設不能由ZFC推導。也就是說，連續統假設成立與否無法由ZFC確定。
第二题	算术公理之相容性	已解决	庫爾特·哥德爾在1930年證明了哥德爾不完備定理。
第三题	两四面體有相同体积之证明法	已解决	希爾伯特的學生馬克斯·德恩以一反例證明了是不可以的。
第四题	建立所有度量空间使得所有线段为測地線	太隐晦	希爾伯特對於這個問題的定義過於含糊。
第五题	所有连续群是否皆为可微群	已解决	1953年日本數學家山邊英彥已得到完全肯定的结果。
第六题	公理化物理	非数学	對於物理学能否全盘公理化，有很多人質疑。
第七题	若b是無理數、a是非0、1代數數，那么ab是否超越數	已解決	分別於1934年、1935年由蓋爾范德與Schneider獨立地解決。
第八题	黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想	未解决	未取得任何实质进展。
第九题	任意代数数域的一般互反律	部分解决	1921年日本的高木贞治，1927年德国的埃米爾·阿廷（E.Artin）各有部份解答。
第十题	不定方程可解性	已解决	1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明：在一般情况答案是否定的。
第十一题	代数系数之二次形式	已解决	有理數的部分由哈塞於1923年解決，實數的部分則由希格爾於1930年解決。
第十二题	扩展代數數	已解决	1920年高木貞治開創了阿貝爾類域理論。
第十三题	以二元函數解任意七次方程	已解决	1957年柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺德證明其不可能性。
第十四题	证明一些函數完全系統（Complete system of functions）之有限性	已解决	1962年日本人永田雅宜提出反例。
第十五题	舒伯特列举微积分（Schubert's enumerative calculus）之严格基础	部分解决	一部分在1938年由范德瓦登得到嚴謹的證明。
第十六题	代数曲线及表面之拓撲結構	未解决
第十七题	把有理函數写成平方和分式	已解决	1927年埃米爾·阿廷（Emil Artin）已解決實封閉域。
第十八题	非正多面體能否密铺空间、球體最紧密的排列	已解决	1910年比伯巴赫做出「n維空間由有限多個群嵌成」。
第十九题	拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析（Analytic）	已解决	1904年由俄国数学家伯恩施坦‎解決。
第二十题	所有有边界條件的变分问题（Variational problem）是否都有解	已解决
第二十一题	证明有线性微分方程有給定的單值群（monodromy group）	已解决
第二十二题	以自守函數（Automorphic functions）一致化可解析关系	已解决	1904年由科比和龐加萊取得解決。
第二十三题	變分法的长远发展	未解決

参阅

• 大卫·希尔伯特
• 国际数学家大会

文獻

• Gray, Jeremy J.. The Hilbert Challenge. Oxford University Press. 2000. ISBN 0-19-850651-1. 
• Yandell, Benjamin H. The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. 2002. ISBN 1-56881-141-1. 
• Thiele, Rüdiger. On Hilbert and his twenty-four problems//In Van Brummelen, Glen. Mathematics and the historian’s craft. The Kenneth O. May Lectures. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC 21. 2005: 243–295. ISBN 0-387-25284-3 
• Dawson, John W. Jr. Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel. AK Peters, Wellesley, Mass. 1997: A wealth of information relevant to Hilbert's "program" and Gödel's impact on the Second Question, the impact of Arend Heyting's and Brouwer's Intuitionism on Hilbert's philosophy. 
• Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.
• Matiyasevich, Yuri. Hilbert's Tenth Problem. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. 1993: An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem. ISBN 0262132958. 
• Nagel, Ernest; Newman, James R. In Douglas Hofstadter. Gödel's Proof: Edited and with a New Foreword by Douglas R. Hofstadter. New York University Press, NY. 2001. ISBN 0-8147-5816-9. 
• Reid, Constance. Hilbert. Springer-Verlag, New York. 1996. ISBN 0-387-94678-8 . 

Specific

外部链接

• 評《希爾伯特的23個數學難題》
• 希尔伯特23个问题及解决情况
• 希尔伯特的23个问题
• 希尔伯特的23个问题（简要）