希尔伯特空间

希爾伯特空間可以用來研究振動的弦的諧波。

在数学领域，希尔伯特空间又叫完备的内积空间，是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不局限于实的情形和有限的维数，但又不失完备性（而不像一般的欧几里得空间那样破坏了完备性）。与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公設化数学和量子力学的关键性概念之一。

简单介绍 [编辑]

希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界自伴算子的著作中^[1]，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特^[2]和朗道展开，随后由尤金·维格纳（Eugene Wigner）继续深入。“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔 1931年出版的著作《群与量子力学的理论》^[3]（The Theory of Groups and Quantum Mechanics）中就使用了这一名词。

一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以表示为一个複希尔伯特空间，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学描述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）。

定义 [编辑]

在一个複數向量空间 $H$ 上的给定的内积 $\text{[math]}$ 可以按照如下的方式导出一个范数（norm） $\Vert . \Vert$ ：

$\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x, x \rangle}$

此空间称为是一个希尔伯特空间，如果其对于这个范数来说是完备的。这里的完备性是指，任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为 $0$ 。任何一个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但是反之未必。

任何有限维内积空间（如欧几里得空间及其上的点积）都是希尔伯特空间。但从实际应用角度来看，无穷维的希尔伯特空间更有价值，例如

酉群（unitary group）的表示论。

平方可积的随机过程理论。

偏微分方程的希尔伯特空间理论，特别是狄利克雷问题。

函数的谱分析及小波理论。

量子力学的数学描述。

内积可以帮助人们从“几何的”观点来研究希尔伯特空间，并使用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有的无穷维拓扑向量空间中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。

傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基底函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基底中的元素或其倍数的和。

常见的例子 [编辑]

在以下例子中，假设所有的希尔伯特空间都是複數，尽管实际应用中大多是實數。

欧几里得空间 [编辑]

$\mathbb{C}^n$ 及其上的内积

$\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n \overline{x_k} y_k$

构成了一个希尔伯特空间，其中短横线表示一个复数的复共轭。

序列空间 [编辑]

更一般的希尔伯特空间都是无穷维的，假设 $B$ 是一个任意集合，可以定义其上的 $\ell^2$ 序列空间，记为

$\ell^2(B) =\left\{ x:B \rightarrow \mathbb{C}\,\bigg|\,\sum_{b \in B} \left|x \left(b\right)\right|^2 < \infty \right\}$

此空间在定义如下内积后，成为一个希尔伯特空间：

$\langle x, y \rangle = \sum_{b \in B} \overline{x(b)} y(b)$

其中 $x$ 和 $y$ 是 $\ell^2(B)$ 中的任意元素。在这个定义中， $B$ 并非一定要是可数的，在 $B$ 不可数之情形下， $\ell^2(B)$ 不是可分（separable）的。在下面更具体的例子中，所有的希尔伯特空间在选定适当的 $B$ 的情况下，都可以表示成为 $\ell^2(B)$ 的一个同构空间。特别地，当 $B = \mathbb(N)$ 的时候，可以将其简单记为 $\ell^2$ 。

勒贝格空间 [编辑]

勒贝格空间是指与一个测度空间 $(X, m, \mu)$ 相关的函数空间，其中 $M$ 是一个 $X$ 上 σ代数的一个子集，而 $\mu$ 是 $M$ 上一个具有可数可加性的测度。

$L^2(\mu(X))$ 表示 $X$ 上所有在几乎处处（almost everywhere）意义下平方可积（square-integrable）的复值的可测函数的集合。平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是有限的。几乎处处意义下指的是两个函数如果只在一个测度为0的集合上不相等，那么就认为其是该空间中相同的元素。

此时两个函数 $f$ 和 $g$ 的内积表示为

$\langle f,g\rangle=\int_X \overline{f(t)} g(t) \ d \mu(t)$

但需要证明的是：

此积分是有意义的。
此空间在此内积意义下是完备的。

这个证明可以在相关的书籍中找到，与此例相关的内容可以参看关于 $L^p$ 空间的著作。

索伯列夫空间 [编辑]

索伯列夫空间一般表示为 $H^s$ 或者 $W^{s, 2}$ 是希尔伯特空间的另一个重要实例，它多被应用于偏微分方程的研究。