希爾伯特模形式

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數學中,希爾伯特模形式是一類自守形式,對應於全實域 K 及相應的群 \mathrm{Res}_{K/\mathbb{Q}} GL(2)_K。這可以視作模形式的一種多變元推廣。當 K=\mathbb{Q} 時,我們回到模形式的定義。

定義[编辑]

對於 m 次全實域 K\mathcal{O} 為其中的代數整數環、 \sigma_1, \ldots, \sigma_m: K \to \mathbb{R} 為相應的實嵌入映射。由此得到嵌入映射

\mathrm{GL}(2,F) \to \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})^m, \quad g \mapsto (\sigma_1(g),\ldots,\sigma_m(g))

\mathcal{H} = \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})/\mathrm{SO}(2,\mathbb{R}) 為上半平面,透過上述嵌入,\mathrm{GL}^+(2,\mathcal{O})(指 \mathrm{GL}(2,\mathcal{O})行列式為正的元素)作用於 \mathcal{H}^m 上。

g = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in GL(2,\mathbb{R}),定義自守因子之值為

 j(g, z) = (\det g)^{-\frac{1}{2}} (cz+d)

權為 (k_1, \cdots, k_m) 之希爾伯特模形式是指 \mathcal{H}^m 上滿足下述函數方程全純函數


\forall \gamma \in \mathrm{GL}^+(2,\mathcal{O}),\; f(\gamma z) = \prod_{i=1}^m j(\sigma_i(\gamma), z_i)^{k_i} f(z).

此定義與模形式的差異在於:當 K \neq \mathbb{Q} 時,不需要另加增長條件,這是 Koecher 定理的一個推論。

文獻[编辑]

  • Paul B. Garrett, Holomorphic Hilbert Modular Forms. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN 0-534-10344-8
  • Eberhard Freitag, Hilbert Modular Forms. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5