希爾伯特模形式

在數學中，希爾伯特模形式是一類自守形式，對應於全實域 $K$ 及相應的群 $\mathrm{Res}_{K/\mathbb{Q}} GL(2)_K$。這可以視作模形式的一種多變元推廣。當 $K=\mathbb{Q}$ 時，我們回到模形式的定義。

定義

對於 $m$ 次全實域 $K$、$\mathcal{O}$ 為其中的代數整數環、 $\sigma_1, \ldots, \sigma_m: K \to \mathbb{R}$ 為相應的實嵌入映射。由此得到嵌入映射

$\mathrm{GL}(2,F) \to \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})^m, \quad g \mapsto (\sigma_1(g),\ldots,\sigma_m(g))$

設 $\mathcal{H} = \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})/\mathrm{SO}(2,\mathbb{R})$ 為上半平面，透過上述嵌入，$\mathrm{GL}^+(2,\mathcal{O})$（指 $\mathrm{GL}(2,\mathcal{O})$ 中行列式為正的元素）作用於 $\mathcal{H}^m$ 上。

對 $g = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in GL(2,\mathbb{R})$，定義自守因子之值為

$j(g, z) = (\det g)^{-\frac{1}{2}} (cz+d)$

權為 $(k_1, \cdots, k_m)$ 之希爾伯特模形式是指 $\mathcal{H}^m$ 上滿足下述函數方程的全純函數

$\forall \gamma \in \mathrm{GL}^+(2,\mathcal{O}),\; f(\gamma z) = \prod_{i=1}^m j(\sigma_i(\gamma), z_i)^{k_i} f(z).$

此定義與模形式的差異在於：當 $K \neq \mathbb{Q}$ 時，不需要另加增長條件，這是 Koecher 定理的一個推論。

文獻

• Paul B. Garrett, Holomorphic Hilbert Modular Forms. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN 0-534-10344-8
• Eberhard Freitag, Hilbert Modular Forms. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5