希爾伯特第二十一問題

希爾伯特第二十一問題是希爾伯特的23個問題之一：給定 $P_1, \ldots, P_n \in \mathbb{P}^1(\mathbb{C}), \Omega := \mathbb{C} - \{P_1, \ldots, P_n\}$ 及一個線性表示 $\rho : \pi_1(\Omega, x_0) \rightarrow GL(m, \mathbb{C})$（給定$x_0 \in \Omega$），是否存在一組 $\Omega$上的 Fuchs方程，使得其單值群由$\rho$給出？

現況

此問題的答案決定於其表述：如果我們容許明顯的奇異點（即：其單值群是平凡的），並在複流形上的向量叢及其聯絡的意義下理解Fuchs方程，則答案是肯定的；否則存在反例。這是 L. Plemelj、G. Birkhoff、I. Lappo-Danilevskij、P. Deligne 與 A. Bolibrukh 等數學家的工作。

此問題有時亦稱為黎曼-希爾伯特問題。數學家柏原正樹與 Zoghman Mebkhout 已藉助 D-模的抽象語言將此結果推廣到高維情形，稱作黎曼-希爾伯特對應。

文獻

• A. Beauville, Equations différentielles à points singuliers réguliers d'apres Bolybrukh, Sem. Bourbaki , 1992/3 (1993) pp. 103–120
• A. Borel Algebraic D-modules ISBN 0-12-117740-8
• P. Deligne, Equations differentials a points singuliers reguliers, Springer Lecture notes in mathematics 163 (1970).
• M. Kashiwara, Faiseaux constructibles et systems holonomes d'equations aux derivees partielles lineaires a points singuliers reguliers, Se. Goulaouic-Schwartz, 1979-80, Exp. 19.
• Z. Mebkhout, Sur le probleme de Hilbert-Riemann, Lecture notes in physics 129 (1980) 99-110.

外部連結

• M. Hazewinkel, Hilbert problems//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104