希爾伯特第十六問題

希爾伯特第十六問題，是希爾伯特的23個問題之一。它分成兩個部份：

• 實代數曲線與曲面的拓撲結構

Harnack在1876年證明了一個平面上$n$次實代數曲線最多有$\frac{n^2-3n+4}{2}$個分支。希爾伯特提議研究這些分支之間的拓撲性質，並將Harnack的估計推廣到空間裡的實代數曲面。

• 極限環的拓撲結構

給定二元$n$次實多項式$P(x,y), Q(x,y)$，考慮下述平面上的動力系統

$\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & = P(x,y) \\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & = Q(x,y) \end{array} \right.$

希爾伯特提議研究其極限環的最大數目及其拓撲。

总而言之，此問題意在研究由實多項式定義出的拓撲結構。在第一部份，我們考慮實多項式的零點；在第二部份，我們考慮實多項式定義的向量場及其積分曲線。

希尔伯特第十六问题在20世纪50年代末由苏联科学院院士彼得洛夫斯基（I.G.Petrovsky）与兰迪斯（E.M.Landies）解决。但随后，他们的证明被证明存在漏洞。1980年，中国科学技术大学研究生史松龄举出一反例，彻底推翻了二人的证明。因此，第十六问题至今仍未解决。

文獻

• Yu. Il'yashenko, Finiteness theorems for limit cycles , Amer. Math. Soc. (1991)
• Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko (ed.), Concerning the Hilbert 16th problem (1995) , Amer. Math. Soc.

外部連結

• M. Hazewinkel, Hilbert problems//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104