希爾伯特第十六問題

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希爾伯特第十六問題,是希爾伯特的23個問題之一。

內容[编辑]

它分成兩個部份:

  • 實代數曲線與曲面的拓撲結構

Harnack在1876年證明了一個平面上n次實代數曲線最多有\frac{n^2-3n+4}{2}個分支。希爾伯特提議研究這些分支之間的拓撲性質,並將Harnack的估計推廣到空間裡的實代數曲面。

  • 極限環的拓撲結構

給定二元n次實多項式P(x,y), Q(x,y),考慮下述平面上的動力系統


  \left\{ \begin{array}{ll}
                   \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & = P(x,y) \\
                   \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & = Q(x,y) 
                 \end{array}
  \right.

希爾伯特提議研究其極限環的最大數目及其拓撲。

总而言之,此問題意在研究由實多項式定義出的拓撲結構。在第一部份,我們考慮實多項式的零點;在第二部份,我們考慮實多項式定義的向量場及其積分曲線

進展[编辑]

希尔伯特第十六问题在1950年代末由苏联科学院院士彼得洛夫斯基(I.G.Petrovsky)与兰迪斯(E.M.Landies)解决。但随后他们的证明被证明存在漏洞。1980年,中国科学技术大学研究生史松龄举出一反例,彻底推翻了二人的证明。因此第十六问题至今仍未解决。

文獻[编辑]

  • Yu. Il'yashenko, Finiteness theorems for limit cycles , Amer. Math. Soc. (1991)
  • Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko (ed.), Concerning the Hilbert 16th problem (1995) , Amer. Math. Soc.

外部連結[编辑]