希爾伯特第十問題

希爾伯特的第十個問題，就是不定方程(又稱為丟番圖方程)的可解答性。這是希爾伯特於1900年在巴黎的國際數學家大會演說中，所提出的23個重要數學問題的第十題。

這個問題是問，對於任意多個未知數的整係數不定方程，要求給出一個可行的方法(verfahren)，使得借助於它，通過有限次運算，可以判定該方程有無整數解。

這裡德文的方法 verfahren，就是英文所謂的演算法 algorithm。對於演算法的概念我們是不陌生的，例如遠在古希臘時代，人們就知道可以使用輾轉相除法，求兩個自然數的最大公約數。還有，任給一個自然數，也存在著一個方法，在有限步驟內，可以判定這個數是不是質數。

雖然人們很早就有了演算法的樸素概念，但對於到底什麼是可行的計算，仍沒有精確的概念。一個問題的可解與不可解究竟是什麼含意，當時的人們還不得而知。然而為了研究第十問題，必須給予演算法精確化的觀念。這點還有賴於數理邏輯學對可計算性理論的發展，才得以實現。

基本觀念 [编辑]

不定方程 [编辑]

不定方程是指含任意數量變元的整係數多項式方程

$P(x_1,x_2,...,x_k)=\sum_{0 \le i_j \le n_j}a_{i_1i_2...i_k}x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_k^{i_k}=0$ 　　　　　 $1 \le j \le k$

這裡 $a_{i_1i_2...i_k}$ 都是正整數、負整數或零，而變元 $x_1,x_2,...,x_k$ 的定義域是自然數或整數。若能找到整數 $m_1,m_2,...,m_k$ ，使得

$P(m_1,m_2,...,m_k)=0$

則稱此不定方程具有整數解。例如：

$P(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$

則 (3,4,5)、(5,12,13) 等都是它的整數解。事實上可找出它所有的整數解： $a=k(m^2-n^2), b=2kmn, c=k(m^2+n^2)$ ，其中 $k, m,n\in \mathbb{N*},m>n$ 。這是著名的勾股定理或稱畢式定理。

著名的費馬最後定理，是說當 $n>2$ 時，方程式

$P(x,y,z)=x^n+y^n-z^n=0$

沒有非零整數解。

丟番圖集 [编辑]

自然数，自然数对（或具有自然数的n-元组）的有丟番图定义的集合被称为丟番图集。丟番图定义可以由方程组或单个方程给出，因为方程组

$p_1=0,\ldots,p_k=0\,$

等价于单个方程：

$p_1^2+\cdots+p_k^2=0.\,$

递归可枚举集可以被描述为一个集合，对其存在一种算法，对这个算法，当集合的一个成员被输入时最终会停机，但一个非成员被输入时会不确定的继续。是可计算性理论（亦即递归论）给出了算法可计算性的直觉符号的精确解释，因而使得递归可枚举性的符号具有完美的严格性。显然，丟番图集是递归可枚举的。因为可以排列所有可能的未知数的值的多元组为一个序列，然后对于一个给定的参数值，一个接一个的测试这些多元组，看他们是否是相应方程的解。希尔伯特第十问题的不可解性源于令人惊讶的事实──其逆命题成立：

每个递归可枚举集都是丟番图集。

这一结果即马季亚谢维奇定理（由他提供的完成证明的关键步骤）和MRDP定理（即尤里·马季亚谢维奇(Yuri Matiyasevich)，朱莉娅·罗宾逊(Julia Robinson)，马丁·戴维斯(Martin Davis)和希拉里·普特南(Hilary Putnam)各人姓氏的首字母缩写）。因为“存在一个递归可枚举集是不可计算的”，希尔伯特第十问题的不可解性是其直接后果。实际上，还有更多的结论：有一个多项式

$p(a,x_1,\ldots,x_n)$

有整数系数使对于方程

$p(a,x_1,\ldots,x_n)=0$

有自然数解的 $a$ 的值的集合不可计算。因此，不仅没有一般的算法测试丟番图方程可解性，甚至也没有算法来测试单一参数家族的方程。

歷史發展 [编辑]

第十問題的解決是眾人集體的智慧結晶。其中美國數學家马丁·戴维斯(Martin Davis)、希拉里·普特南(Hilary Putnam)和朱莉娅·罗宾逊(Julia Robinson)做出了突出的貢獻。而最終的結果，是由俄國數學家尤里·马季亚谢维奇(Yuri Matiyasevich)於1970年所完成的。

年代	事件
1944	Emil Leon Post首先猜測，對於第十問題，應尋求不可解的證明。
1949	Martin Davis利用Kurt Gödel 的方法，並應用中國餘數定理的編碼技巧，得到遞歸可枚舉集的戴維斯範式 $\{a \| \exists y \,\forall k \!_{\le y}\, \exists x_1,\ldots , x_n [p(a,k,y,x_1,\ldots ,x_n)=0]\}$ 其中 $p$ 是不定方程。他注意到丟番圖集的補集並非丟番圖的。而遞歸可枚舉集對於補集運算也非封閉的，他因此猜測這兩個集合類是相同的。
1950	Julia Robinson 在未知 Davis 工作的情況下，試圖證明冪函數是丟番圖的 $z=y^x$ 雖然並未成功，她發現如果存在這樣的丟番圖集 $D=\{(a,b)\}$ ，使得 $(a,b)\in D \Rightarrow b < a^a$ 而且 $\forall k>0 \,\exists (a,b)\in D$ 　使得　 $b>a^k$ 在假設這樣丟番圖集存在(稱為 J.R.)的情況下，她證明了冪函數是丟番圖的。並且如果冪函數是丟番圖的，那麼二項式係數、階乘以及質數集合都是丟番圖的。
1959	David與Putnam 共同研究了指數丟番圖集，也就是以丟番圖方程所定義的集合，但其中指數可以是未知數。使用戴維斯範式與 Robinson 的方法，並且利用數論中一個當時尚未證明的假設(註：已於 2004 年由 Ben Green 和 Terence Tao 所證明)：存在任意有限長度全由質數所組成的算數級數，他們證明了每一個遞歸可枚舉集都是指數丟番圖的。因此若是 J.R. 成立，就可以將「指數」兩字拿掉，而得到每一個遞歸可枚舉集都是丟番圖的。因而第十問題是不可解的。
1960	Robinson證明了上述的數論假設是不必要的，並且大大簡化了證明。從而可知，只要能證明冪函數是丟番圖的，第十問題就可以解決。而關鍵又是尋找滿足 J.R. 假設的丟番圖集。
1961-1969	David與Putnam提出數種可證明 J.R. 的假定。Robinson 指出，若存在一個全由質數組成的無限丟番圖集，便可證明 J.R.
1970	尤里·马季亚谢维奇指出可由十個一次和二次的聯立不定方程組，定義偶角標的斐波那契函數： $b = F_{2a}$ 其中 $F_n$ 是第 $n$ 個斐波那契數。也就是它是丟番圖的，並滿足 J.R. 假設。從而可構造出一個不定方程，它不是遞歸可解的。也就是不存在算法，可以計算該方程式的整數解。因此使得希爾伯特第十問題，得到最終否定的解答。