希爾伯特第十四問題

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希爾伯特第十四問題希爾伯特的23個問題之一。它探討某些有理函數域中的子環的有限性問題。令 k 為一個k \subset K \subset k(X_1,\ldots,X_n)。令  R := k[X_1,\ldots,X_n] \cap K,希爾伯特猜想R有限生成k-代數。

歷史[编辑]

此問題源自不變量理論。具體而言,假設群G作用於n維仿射空間\mathbb{A}^n_k,或者等價地說,作用於多項式環k[X_1, \ldots, X_n]。為了研究商空間\mathbb{A}^n_k/G,必須考慮:

R := k[X_1, \ldots X_n]^G = \{f \in k[X_1, \ldots X_n] : \forall g \in G, g \cdot f = f \}

希爾伯特本人證明了G是某些半單李群的情形,包括GL_n扎里斯基在1954年證明了n=1,2的情形。對於一般的狀況,永田雅宜藉著考慮某些線性代數群的作用而在1959年造出反例。

基於蒙福德假設,可以推出:若k代數封閉域,且G是定義在k上的可約群,則R是有限生成的。此假設已在1975年由 W. J. Haboush 證明,並由 C. S. Seshadri 推廣。

參考文獻[编辑]

  • W.J. Haboush, Reductive groups are geometrically reductive Ann. of Math. , 102 (1975) pp. 67–83
  • D. Mumford, Geometric invariant theory (1965) , Springer ISBN 3-54-056963-4
  • D. Mumford, Hilbert's fourteenth problem - the finite generation of subrings such as rings of invariants F.E. Browder (ed.) , Mathematical developments arising from Hilbert problems , Proc. Symp. Pure Math. , 28 , Amer. Math. Soc. (1976) pp. 431–444
  • C.S. Seshadri, Geometric reductivity over arbitrary base Adv. Math. , 26 (1977) pp. 225–274