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希爾伯特轉換

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希爾伯特轉換結果(紅色)與原來的訊號——方波(藍色)

數學訊號處理的領域中,一個實數函數s(t)\,希爾伯特轉換(Hilbert transform)——在此標示為\mathcal{H}——是將訊號s(t)\,1/(\pi t)\,卷積,以得到\widehat s(t)。因此,希爾伯特轉換結果\widehat s(t)可以被解讀為輸入是s(t)\,线性非時變系统(linear time invariant system)的輸出,而此一系統的脈衝響應為1/(\pi t)\,。這是一項有用的數學,用在描述一個以實數值載波做調變的訊號之複數包絡(complex envelope),出現在通訊理論(應用方面的詳述請見下文。)

希爾伯特轉換是以著名數學家大衛·希爾伯特(David Hilbert)來命名。

希爾伯特轉換表格[编辑]

訊號
u(t)\,
希爾伯特轉換
H(u)(t)
\sin(t) -\cos(t)
\cos(t) \sin(t)\,
 \exp \left( i t \right)  - i \exp \left( i t \right)
 \exp \left( -i t \right)   i \exp \left( -i t \right)
1 \over t^2 + 1 t \over t^2 + 1
Sinc函数
\sin(t) \over t
 1 - \cos(t)\over t
矩形函数
  \sqcap(t)
{1 \over \pi} \log \left | {t + {1 \over 2} \over t - {1 \over 2}} \right |
狄拉克δ函数
\delta(t) \,
 {1 \over \pi t}
指示函数
\chi_{[a,b]}(t) \,
\frac{1}{\pi}\log \left \vert \frac{t - a}{t - b}\right \vert
Notes

常數之希爾伯特轉換為零

定義[编辑]

希爾伯特轉換定義如下:

\widehat s(t) = \mathcal{H}\{s\} = h(t)*s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) h(t-\tau) d\tau = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{s(\tau)}{t-\tau}\, d\tau.\,

其中

h(t) = \frac{1}{\pi t}\,

並考慮此積分為柯西主值(Cauchy principal value),其避免掉在\tau = t\,以及\tau=\pm \infty\,等處的奇點

另外要指出的是:

 s\in L^p(\mathbb{R}),則 \mathcal{H}(s)可被定義,且屬於L^p(\mathbb{R});其中 1<p<\infty

頻率響應[编辑]

希爾伯特轉換之頻率響應傅立葉變換給出:

H(\omega ) = \mathcal{F}\{h\}(\omega)\, = -i\cdot \sgn(\omega),  

其中

即為符号函数

既然:

\mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega) = H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{s\}(\omega),

希爾伯特轉換會將負頻率成分s(t)\,偏移+90°,而正頻率成分偏移−90°。

反(逆)希爾伯特轉換[编辑]

我們也注意到:H^2(\omega ) = -1\,。因此將上面方程式乘上-H(\omega )\,,可得到:

\mathcal{F}\{s\}(\omega) = -H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega)

從中,可以看出反(逆)希爾伯特轉換

s(t) = -(h * \widehat s)(t) = -\mathcal{H}\{\widehat s\}(t).\,

特性[编辑]

邊界[编辑]

若 1<p<∞,則 Lp(R)之希爾伯特轉換為一有界算子,表示存在一常數Cp使得

\|Hu\|_p \le C_p\| u\|_p

對所有 uLp(R)。這個定理由Riesz (1928, VII)所推得;請一併參見Titchmarsh (1948, Theorem 101)。 最佳常數Cp可由下列算式得到:

C_p = \begin{cases}
  \tan \frac{\pi}{2p} & \text{for } 1 < p \leq 2\\ 
  \cot \frac{\pi}{2p} & \text{for } 2 < p < \infty
\end{cases}

這個結果由(Pichorides 1972)所推得;請一併參見Grafakos (2004, Remark 4.1.8)。上述最佳常數計算方式應用在週期性希爾伯特轉換一樣成立。

希爾伯特轉換的邊界指的是 Lp(R) 對稱級數運算子對於在 Lp(R) 之中 f 的收斂

S_R f = \int_{-R}^{R}\hat{f}({\xi})e^{2\pi i x\xi}\,d\xi

請參見(Duoandikoetxea 2000,p.59)。

反自伴性[编辑]

希爾伯特轉換為一反自伴算子,連結 Lp(R) 與其對偶空間 Lq(R),其中 pq赫爾德共軛且 1 < p,q < ∞. 以符號表示

\langle Hu, v \rangle = \langle u, -Hv \rangle

u ∈ Lp(R) 且 v ∈ Lq(R) (Titchmarsh 1948,Theorem 102).

逆轉換[编辑]

希爾伯特轉換為一反-對合Titchmarsh 1948,p.120),意即

H(H(u)) = -u

假定每一轉換皆完整定義過。由於 H 保存了 Lp(R)空間,這特別代表希爾伯特轉換在 Lp(R) 上是不可逆的,且

H^{-1} = -H

微分[编辑]

正式上,一個式子其希爾伯特轉換的微分即為其微分的希爾伯特轉換,意即這兩者是可以交換的線性算子

H\left(\frac{du}{dt}\right) = \frac{d}{dt}H(u)

此一特性亦可迭代

H\left(\frac{d^ku}{dt^k}\right) = \frac{d^k}{dt^k}H(u)

給定 u 以及其前k次微分皆屬於Lp(R) (Pandey 1996,§3.3)空間,此項論述為嚴格成立。在頻域上可以輕易驗證這件事情,由於微分在頻域上即為與 ω 之乘積。

旋積[编辑]

希爾伯特轉換可表示為與一調節分布旋積Duistermaat & Kolk 2010,p.211)

h(t) = \text{p.v. }\frac{1}{\pi t}

因此可如此表示

H(u) = h*u

然而,事前此特性可能只有對緊支撐之分布 u定義。由於緊支撐函數在 Lp 上是稠密的,因此此項特性可能嚴格成立。另一角度來看,也可使用 h(t) 其微分之特性來證明

H(u)(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\pi} (u*\log|\cdot|)(t)\right)

在大部分的用途,希爾伯特轉換可被視為是一旋積。舉例而言,旋積與希爾伯特轉換具備下列可交換的特性

H(u*v) = H(u)*v = u*H(v)

uv 為緊支撐分布,則此項論述嚴格成立,在這個狀況下

 h*(u*v) = (h*u)*v = u*(h*v)

不變性[编辑]

希爾伯特轉換在空間 L2(R) 上有下列特性

  • 可與算子 Taƒ(x) = ƒ(x + a) 交換,對所有實數 a
  • 可與算子 Mλƒ(x) = ƒ(λx) 交換,對所有 λ > 0
  • 可與鏡射 Rƒ(x) = ƒ(−x) 反交換

實際上,有更大一部分的算子可與希爾伯特轉換交換。群組 SL(2,R) 由幺正算符 Ug 可在空間 L2(R) 上由以下式子表示

\displaystyle{U_{g}^{-1}f(x) = (cx + d)^{-1} f\left({ax + b \over cx + d}\right),\,\,\,g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}

希爾伯特轉換例子[编辑]

注意:有些作者,例如Bracewell,將我們的-\mathcal{H}當作其正轉換的定義。這樣的結果就是下表右行要乘上一個負號。


實務考量[编辑]

離散希爾伯特轉換[编辑]

圖 1: 頻寬被限制在95%奈奎斯特頻率之濾波器頻率響應
圖 2: 高通頻率響應之希爾伯特轉換濾波器
圖 3.
圖 4. cos(wt)函數之希爾伯特轉換為 sin(wt)。此圖顯示了sin(wt)函數與一個利用MATLAB函式庫 hilbert(­­­­·)計算之近似希爾伯特轉換的差異

對於一離散函數 u[n],以及其 離散傅利葉轉換 函數 U(ω),可推得其希爾伯特轉換為:

H(u)[n] = \scriptstyle{DTFT}^{-1} \displaystyle \{U(\omega)\cdot \sigma_H(\omega)\}

其中

\sigma_H(\omega)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 
\begin{cases}
  e^{+i\pi/2}, & -\pi < \omega < 0 \\
  e^{-i\pi/2}, & 0 < \omega < \pi\\
            0, & \omega = -\pi, 0, \pi
\end{cases}

此外,根據摺積定律,另一個相等的方程式為:

H(u)[n] = u[n] * h[n]

其中

h[n]\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \scriptstyle{DTFT}^{-1} \big \{\displaystyle \sigma_H(\omega)\big \} =
\begin{cases}
             0, & \mbox{for }n\mbox{ even}\\
  \frac2{\pi n} & \mbox{for }n\mbox{ odd}
\end{cases}

當摺積經由數值運算後,一FIR 近似將取代h[n],如 圖 1所示,可以見到頻率響應在通帶之兩端(0與奈奎斯特頻率)的陡降,形成一帶通濾波器。其中高頻部分可藉由一FIR濾波器回復,如 圖 2所示。然而實際上,一個經過適當取樣的 u[n] 序列在高頻部分已經不具有可用的分量。當脈衝響應持續越久,低頻部分也可以被回復。

用FIR近似h[n]的時候,交疊儲存法是一個對於很長的u[n] 序列做摺積運算的有效方法。有時候陣列FFT{h[n]}會被σH(ω)相對應之取樣序列所取代。如此將會有與週期疊加函數做摺積之效果:

h_N[n]\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[n - mN]

圖 3比較了hN[n]之半周期與一相同長度分量之h[n]。兩者之間之差異與兩者之長度皆不短於區段長度(N)之現象為失真的來源,且失真可經由增加區段長度與交疊參數來有效減少。

MATLAB中有一函數 hilbert(u,N),此函數會回傳一複數序列,其中虛部序列為 u[n]之離散希爾伯特轉換近似,實部序列為原本輸入之序列,所以這樣的複數輸出等於是 u[n]的分析訊號。與前述類似, hilbert(u, N) 只使用來自 sgn(ω)分佈的取樣,因此是與 hN[n] 的摺積。如前段所述,失真可藉由選擇比實際之u[n]序列更大的N與捨棄適當數量的輸出取樣來有效減少。圖 4為這種失真的一個例子。

相關條目[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications 2nd ed. McGraw-Hill. 1986. 
  • Carlson, Crilly, and Rutledge. Communication Systems 4th ed. 2002. 
  • Grafakos, Loukas, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Education, Inc., 253–257, 2004, ISBN 0-13-035399-X .
  • Pichorides, S., On the best value of the constants in the theorems of Riesz, Zygmund, and Kolmogorov, Studia Mathematica, 1972, 44: 165–179 
  • Riesz, Marcel, Sur les fonctions conjuguées, Mathematische Zeitschrift, 1928, 27 (1): 218–244, doi:10.1007/BF01171098 
  • Duoandikoetxea, J., Fourier Analysis, American Mathematical Society, 2000, ISBN 0-8218-2172-5 
  • Titchmarsh, E, Reciprocal formulae involving series and integrals, Mathematische Zeitschrift, 1926, 25 (1): 321–347, doi:10.1007/BF01283842 .
  • Titchmarsh, E, Introduction to the theory of Fourier integrals 2nd, Oxford University: Clarendon Press, 1948 (1986), ISBN 978-0-8284-0324-5 .
  • Pandey, J.N., The Hilbert transform of Schwartz distributions and applications, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0-471-03373-1 
  • Duistermaat, J.J., Distributions, Birkhäuser, 2010, doi:10.1007/978-0-8176-4675-2, ISBN 978-0-8176-4672-1 


外部連結[编辑]