希爾伯特轉換

希爾伯特轉換結果（紅色）與原來的訊號——方波（藍色）

在數學與訊號處理的領域中，一個實數值函數$s(t)\,$的希爾伯特轉換(Hilbert transform)——在此標示為$\mathcal{H}$——是將訊號$s(t)\,$與$1/(\pi t)\,$做卷積，以得到$\widehat s(t)$。因此，希爾伯特轉換結果$\widehat s(t)$可以被解讀為輸入是$s(t)\,$的线性非時變系统(linear time invariant system)的輸出，而此一系統的脈衝響應為$1/(\pi t)\,$。這是一項有用的數學，用在描述一個以實數值載波做調變的訊號之複數包絡(complex envelope)，出現在通訊理論（應用方面的詳述請見下文。）

希爾伯特轉換是以著名數學家大衛·希爾伯特(David Hilbert)來命名。

定義

希爾伯特轉換定義如下：

$\widehat s(t) = \mathcal{H}\{s\} = h(t)*s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) h(t-\tau) d\tau = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{s(\tau)}{t-\tau}\, d\tau.\,$

其中

$h(t) = \frac{1}{\pi t}\,$

並考慮此積分為柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在$\tau = t\,$以及$\tau=\pm \infty\,$等處的奇點。

另外要指出的是：

若$s\in L^p(\mathbb{R})$，則$\mathcal{H}(s)$可被定義，且屬於$L^p(\mathbb{R})$；其中$1<p<\infty$。

頻率響應

希爾伯特轉換之頻率響應由傅立葉變換給出：

$H(\omega ) = \mathcal{F}\{h\}(\omega)\, = -i\cdot \sgn(\omega)$,  

其中

• $\mathcal{F}$是傅立葉變換，
• i (有時寫作j )是虛數單位，
• $\omega \,$是角頻率，以及
• $\sgn(\omega) =\begin{cases} \ \ 1, & \mbox{for } \omega > 0,\\ \ \ 0, & \mbox{for } \omega = 0,\\ -1, & \mbox{for } \omega < 0, \end{cases}$

即為符号函数。

既然：

$\mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega) = H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{s\}(\omega)$,

希爾伯特轉換會將負頻率成分$s(t)\,$偏移+90°，而正頻率成分偏移−90°。

反（逆）希爾伯特轉換

我們也注意到：$H^2(\omega ) = -1\,$。因此將上面方程式乘上$-H(\omega )\,$，可得到：

$\mathcal{F}\{s\}(\omega) = -H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega)$

從中，可以看出反（逆）希爾伯特轉換

$s(t) = -(h * \widehat s)(t) = -\mathcal{H}\{\widehat s\}(t).\,$

希爾伯特轉換例子

注意：有些作者，例如Bracewell，將我們的$-\mathcal{H}$當作其正轉換的定義。這樣的結果就是下表右行要乘上一個負號。

相關條目

• 卷積
• 希爾伯特-黃轉換

參考文獻

• Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications 2nd ed. McGraw-Hill. 1986. 
• Carlson, Crilly, and Rutledge. Communication Systems 4th ed. 2002. 

外部連結

• another exposition — Hilbert transform properties
• Mathworld Hilbert transform — Contains a table of transforms
• Analytic Signals and Hilbert Transform Filters
• Hilbert Transform — Contains small table of transforms
• Easy Fourier Analysis hints to compute Hilbert transform in Time domain.