希爾伯特-黃轉換

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希爾伯特-黃轉換(Hilbert-Huang Transform),由台灣中央研究院院士黃鍔(Norden E. Huang)等人提出,將欲分析資料分解為本質模態函數(intrinsic mode functions, IMF),這樣的分解流程稱為經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)的方法。然後將IMF作希爾伯特轉換(Hilbert Transform),正確地獲得資料的瞬時頻率。此方法處理對象乃針對非穩態非線性訊號。與其他數學轉換運算(如傅立葉變換)不同,希爾伯特-黃轉換算是一種應用在數據資料上的演算法,而非理論工具。

本質模態函數(IMF)[编辑]

任何一個資料,滿足下列兩個條件即可稱作本質模態函數。

局部極大值(local maxima)以及局部極小值(local minima)的數目之和必須與零交越點(zero crossing)的數目相等或是最多只能差1,也就是說一個極值後面必需馬上接一個零交越點。

⒉ 在任何時間點,局部最大值所定義的上包絡線(upper envelope)與局部極小值所定義的下包絡線,取平均要接近為零。

因此,一個函數若屬於IMF,代表其波形局部對稱於零平均值。此類函數類似於弦波(sinusoid-like),但是這些類似於弦波的部分其週期與振幅可以不是固定。因為,可以直接使用希爾伯特轉換,求得有意義的瞬時頻率。

經驗模態分解(EMD)[编辑]

EMD演算法流程圖

建立IMF是為了滿足希爾伯特轉換對於瞬時頻率的限制條件之前置處理,也是一種轉換的過程。我們將IMF來做希爾伯特轉換可以得到較良好的特性,不幸的是大部分的資料並不是IMF,而是由許多弦波所合成的一個組合。如此一來,希爾伯特轉換並不能得到正確的瞬時頻率,我們便無法準確的分析資料。為了解決非線性(non-linear)與非穩態(non-stationary)資料在分解成IMF時所遇到的困難,便發展出EMD。

經驗模態分解是將訊號分解成IMF的組合。經驗模態分解是藉著不斷重覆的篩選程序來逐步找出IMF。

以訊號s \left( t\right )為例,篩選程序的流程概述如下:

步驟 1 : 找出s \left( t\right )中的所有局部極大值以及局部極小值,接著利用三次樣條(cubic spline),分別將局部極大值串連成上包絡線與局部極小值串連成下包絡線。

步驟 2 : 求出上下包絡線之平均,得到均值包絡線 m_1 \left( t\right )

步驟 3 : 原始信號s \left( t\right )與均值包絡線相減,得到第一個分量 h_1 \left( t\right )

h_1(t) = s \left( t\right )- m_1 \left( t\right )

步驟 4 : 檢查 h_1 \left( t\right )是否符合IMF的條件。如果不符合,則回到步驟1並且將 h_1 \left( t\right )當作原始訊號,進行第二次的篩選。亦即

h_2(t) = h_1 \left( t\right )- m_2 \left( t\right )

重複篩選k

h_k(t) = h_{k-1} \left( t\right )- m_k \left( t\right )

直到 h_k \left( t\right )符合IMF的條件,即得到第一個IMF分量 c_1 \left( t\right ),亦即

 c_1 \left( t\right )=h_k \left( t\right )

步驟 5 : 原始訊號s \left( t\right )減去 c_1 \left( t\right )可得到剩餘量 r_1 \left( t\right ),表示如下式

r_1(t) = s \left( t\right )-c_1 \left( t\right )

步驟 6 : 將 r_1 \left( t\right )當作新的資料,重新執行步驟1至步驟5,得到新的剩餘量 r_2 \left( t\right )。如此重複n

r_2(t) = r_1 \left( t\right )-c_2 \left( t\right )

r_3(t) = r_2 \left( t\right )-c_3 \left( t\right )

.
.
.

r_n(t) = r_{n-1} \left( t\right )-c_n \left( t\right )

當第n個剩餘量r_n \left( t\right )已成為單調函數(monotonic function),將無法再分解IMF時,整個EMD的分解過程完成。原始訊號s \left( t\right )可以表示成n個IMF分量與一個平均趨勢(mean trend)分量 r_n \left( t\right )的組合,亦即

s(t)=\sum_{k=1}^n c_k(t) + r_n(t)

如此一來,原始資料便分解成n個IMF和一個趨勢函數,我們便可將IMF做希爾伯特轉換來進行瞬時頻率的分析。

混模問題(Mode Mixing Problem)[编辑]

在經驗模態分解的過程中,會有混模問題產生,混模問題就是在同一個本質模態函數裡會有不同尺度的訊號混雜,或者是同一尺度的訊號出現在不同的本質模態函數裡。混模問題的發生是因為某些系統訊發生間斷性訊號 (intermittence),間斷性訊號會使經驗模態分析法分解無法正確分解出同一尺度的訊號。混模會造成本質模態函數失去物理意義。此外,混模問題也可能使經驗模態分解的演算法不穩定,任何擾動都可能會產生新的本質模態函數。

EMD因為間斷性訊號而產生混模現象

混模問題是因為某些系統產生間斷性訊號 (intermittence),間斷性訊號會使經驗模態分解無法正確分解出同一尺度的訊號。混模會造成本質模態函數失去物理意義。此外,混模問題也可能使經驗模態分解的演算法不穩定,任何擾動都可能會產生新的本質模態函數。

有關於混模問題的解決,在2005年有人提出了以弦波輔助的遮罩方法(masking method)來解決混模問題,而在2009年黃鍔等人提出了以雜訊輔助的總體經驗模態分解法(Ensemble Empirical Mode Decomposition),利用加入白雜訊(white noise)來解決混模問題。

遮罩方法(Masking Method)[编辑]

為一種弦波輔助的資料分析方法(sinusoidal assisted data analysis),利用加減一個高於所有訊號頻率的弦波,使得極值出現的速率一致(消除間斷性特性)來解決混模問題。

主要流程為

步驟 1 :利用頻譜分析方法找出頻譜的組成

步驟 2 :加減一個高於頻譜上最高頻率的遮罩弦波訊號以消除間斷性特性

步驟 3 :分別做經驗模態分解得到良好的本質模態函數

步驟 4 :將其相加除以二來抵消遮罩訊號

遮罩方法有三個問題

1.沒有針對相位做處理,使極值點出現錯誤。

2.遮罩的弦波訊號頻率需要遠小於取樣頻率。

3.只能針對比較簡單的合成訊號做處理。

總體經驗模態分解法(Ensemble Empirical Mode Decomposition)[编辑]

針對混模問題,黃鍔等人在2009年提出總體經驗模態分析法(Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD) 做為改善,總體經驗模態分解法為一種雜訊輔助的資料分析方法(noise-assisted data analysis),首先對訊號加入白雜訊(white noise),再對訊號作經驗模態分解,並重覆做以上兩個步驟若干次後得到若干組本質模態函數,最後將各自的本質模態函數取平均來抵銷雜訊造成的影響。

EEMD解決間斷性訊號造成的混模現象,使得每個模態分解良好(N=100,Std=0.2)

總體個數的選擇:加入的白雜訊造成的影響,根據已知的統計理論,其影響與總體個數的關係為  \epsilon_n = \frac{\epsilon}{\sqrt{\Nu}} ,其中N是總體個數, \epsilon是加入雜訊的大小, \epsilon_n是最後誤差的標準差,誤差為輸入訊號和對應的本質模態函數的差值。

雜訊強度的選擇:提出者建議以0.2倍原始資料的標準差當作雜訊強度,另外當資料以高頻訊號為主體時,雜訊強度需要下降;當資料以低頻訊號為主體時,雜訊強度需要提高。

後處理:因為總體經驗模態分解做完後所得到的本質模態函數並不是真的符合先前本質模態函數的定義,因此黃鍔院士等人又提出了總體經驗模態分解法的後處理 (Post-processing),其方法為做完總體經驗模態分解法後,把所得到的本質模態函數再去各自做經驗模態分解,其處理流程主要是把總體經驗模態函數處理過的第一個得到的本質模態函數再經過經驗模態分解分解成第一個真正的本質模態函數和第一個殘差,再把總體經驗模態函數處理過的第二個本質模態函數加上第一個殘差做經驗模態分解成第二個真正的本質模態函數和第二個殘差,以此類推。

總體經驗模態分解法雖然可以解決混模問題,但是運算複雜度比傳統經驗模態分解多了總體數量的倍數,難以運用在需要即時運算或是資料量大的訊號上。

結論[编辑]

傅立葉變換是將一個訊號分解成無限多個弦波來分析資料,但是希爾伯特-黃轉換則是將一個訊號分解成數個近似於弦波的訊號(周期、振幅不固定)和一個趨勢函數來做分析。

兩者各有其優缺點,整理如下

優點:

1.避免複雜的數學運算

2.可分析頻率會隨時間變化的訊號

3.較適於分析氣候、經濟等具有趨勢的資料

4.可以找出一個函數的趨勢


缺點:

1.缺乏嚴謹的物理及數學上的意義

2.需要複雜的遞迴,運算時間反而比短時距傅立葉變換要長

3.希爾伯特轉換未必能正確計算出本質模態函數之瞬時頻率

4.無法使用快速傅立葉變換

5.只有在特例(組合較簡單的資料)時使用希爾伯特-黃轉換較快

相關條目[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Norden E. Huang, et al. "The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis." Proc. R. Soc. Lond. A (1998) 454, 903–995 (Link)
  • 陳韋佑, "以希爾伯特-黃轉換法為GPS接收機抑制調頻干擾", 國立台灣大學電機工程研究所碩士論文, 2007.
  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class ppt,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2009.
  • Jian-Jiun Ding,"時頻分析與小波轉換",available in http://djj.ee.ntu.edu.tw/TFW.htm
  • Zhaohua Wu and Norden E. Huang, "Ensemble Empirical Mode Decomposition:A Noise-Assisted Data Analysis Method", Advances in Adaptive Data Analysis 2009, Vol. 1, 1–41
  • Ryan Deering and James F. Kaiser, "The Use Of a Masking Signal To Improve Empirical Mode Decomposition",Proc. IEEE Conf. Acoust. Speech and Sig. Processing (ICASSP), 2005,Vol. 4, 485–488.

外部連結[编辑]

(正体中文)國立中央大學數據分析方法研究中心 (正体中文)HHT标准程序下載