希爾球

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A contour plot of the effective potential of a two-body system due to gravity and inertia at one point in time.希爾球是分別環繞著這兩個大質量天體的圓型區域。

希爾球,粗略的說法,是環繞在天體(像是行星)周圍的體積,那裡被它吸引的天體(像是衛星)受到它的控制,而不是被它繞行的較大天體(像是恆星)所控制。因此,行星能保留住衛星,而衛星的軌道必須在行星的希爾球內。同樣的,月球也會有它的希爾球,任何位於月球的希爾球內的天體將會成為月球的衛星,而不是地球的衛星。

更精確的說法,希爾球接近於一個小天體在面對著一個大許多的天體的重力影響下,只會受到攝動影響的引力球範圍。這是美國天文學家喬治·威廉·希爾法國天文學家愛德華·洛希的工作為基礎所定義的,由於這個緣故,它有時也被稱為洛希球

為了說明,考慮木星環繞著太陽的具體事例,對太空中任何的點,可以計算下面三種力的總和:

  • 來自太陽的引力,
  • 來自木星的引力,
  • 在有著與木星相同頻率的點上,繞著太陽運轉的微粒所受到的離心力

木星的希爾球是以木星為中心,這三種力量的總和永遠都指向木星的最大的球。以一般的用語來說,它是圍繞在繞著主要天體的次要天體週圍的球形,在這個球形內的淨力是一個指向次要天體的向心力。因此,希爾球在我們的例子中是描述一顆小的天體,像是衛星或人造衛星可以在木星附近穩定的繞著木星運轉,而不會單純的進入橢圓軌道繞著太陽運轉的最大極限範圍。

在兩個天體的連線方向上,希爾球的邊界在拉格朗日點的L1和L2,這也是次要天體的影響力最短的方向,並且以此做為希爾球大小的限制因素。超越了這個距離,第三個天體環繞著次要天體(此處以木星為例)的軌道就至少會有一部分逸出了希爾球,並且將會受到主要天體(此例中為太陽)漸增的潮汐力攝動,最後終將繞著後者運轉。

雖然都是與洛希有關的術語,但洛希球絕不能和洛希極限或是洛希瓣混淆在一起。洛希極限是僅由重力維繫的物體受到潮汐力作用開始被破壞的距離;洛希瓣描述的是一個環繞在兩個天體周圍的軌道,會造成這兩個天體競逐捕獲這個天體的距離界限。

公式和例子[编辑]

如果較小的天體(例如地球)質量是m,被它環繞的較重的天體(例如太陽)質量是M,軌道半長軸a,離心率是e,則較小天體(例如地球)的希爾球半徑r的近似值為 [1]

r \approx a (1-e) \sqrt[3]{\frac{m}{3 M}}

當離心率可以忽略時(最有利於穩定軌道的論點),公式可以簡化為:

r \approx a \sqrt[3]{\frac{m}{3M}}

在地球的例子中,地球質量為5.97×1024公斤,以1.496億公里的距離環繞著質量1.99×1030公斤的太陽,希爾球的半徑大約是150萬公里(0.01天文單位)。月球繞地球的軌道平均距離為38萬4,000公里,很安穩的在地球引力的勢力範圍內,沒有被扯入獨立繞行太陽軌道的危險或顧慮。根據軌道的周期:地球所有穩定的衛星,它的軌道週期必須短於7個月。

早先(省略調離心率)的公式可以再改以下面的形式呈現:

3\frac{r^3}{a^3} \approx \frac{m}{M}

如此的表示法將希爾球的體積與次要天體環繞主要天體的軌道體積做了比較上的聯繫。具體的說法,質量的比率是這兩個球體積比值的三倍。

快速的估計希爾球半徑的方法是將上述等式中的質量用密度來取代:

\frac{r}{R_{secondary}} \approx \frac{a}{R_{primary}} \sqrt[3]{\frac{\rho_{secondary}}{3 \rho_{primary}}} \approx \frac{a}{R_{primary}}

此處\rho_{second}\rho_{primary}分別是主要天體和次要天體的密度,並且\frac{r}{R_{secondary}}\frac{a}{R_{primary}}是它們的半徑。第二個公式在太陽系內大部分的事例中都與事實大略相符,\sqrt[3]{\frac{\rho_{secondary}}{3 \rho_{primary}}}的值都接近1(地-月系統是最大的例外,並且大多數的土星衛星都在20%之內。)這是很方便的型式,因此許多天文學家都記住行星的半徑,並以此為單位進行計算的工作。

真實穩定的區域[编辑]

希爾球只是估計的大小,因為還有其它的力(像是輻射壓亞爾科夫斯基效應)也會造成攝動使它逸出到球外。第三個天體的質量也必須夠小,才不致於因為自身的引力影響而使情形變得複雜。詳細的數值計算顯示,軌道在或正好在希爾球內的天體,在長遠看來仍是不穩定的;看起來穩定的衛星軌道半徑只在希爾球半徑的1/2或1/3的範圍之內(逆行軌道似乎比順行軌道穩定)。

更多的例子[编辑]

太空人不可能在地球上空300公里之處圍繞著太空梭(質量大約104公噸)運轉,因為希爾球的半徑只有120公分,遠比太空梭本身還要小。事實上,任何一顆低地球軌道衛星(高度1,400公里),密度必須是的800倍以上(9102.6 g/cm3),才可能擁有自己的希爾球,否則它將不足以勝任支持任何的軌道。(鉛的密度是11.34 g/cm3,地球質量為5.9742×1024kg。一顆球形的同步衛星將需要鉛密度的5倍足以維繫自己的衛星,這樣的衛星密度是地球上自然產物中密度最高的元素的2.5倍(同步軌道的高度是35,786公里,銥的密度是22.65 g/cm3)。只有在兩倍於同步軌道的高度上,一顆鉛球可以維繫自身的衛星軌道;由於月球的軌道遠大於同步軌道距離的2倍以上,因此環繞月球的軌道是存在的。

太陽系海王星有著最大的希爾球,半徑是1億1,600萬公里,或是0.775天文單位;因為他與太陽距離的遙遠,充分的補償了它的質量低於木星的不足,木星的希爾球半徑只有5,300萬公里。主帶小行星中的穀神星,希爾球的半徑只有22萬公里。因為質量的迅速減少,有一顆衛星的1994 KW4,是接近水星的小行星,希爾球的半徑為22公里。

推導[编辑]

一個不很嚴謹,但概念上是正確的可以推導出希爾球半徑,就是可以利用人造衛星環繞一個天體(例如行星)的軌道角速度和這個天體本身環繞母天體的軌道角速度相等,這粗略的是恆星重力影響與行星相等的半徑。這在數量級上的數值精確度上是正確的。

\Omega_{planet} = \Omega_\star
\sqrt{\frac{GM_{planet}}{R_H^3}} = \sqrt{\frac{GM_\star}{a^3}}

此處R_H是希爾球半徑,a是行星環繞恆星的半長軸。以一些基本的符號:

\frac{M_{planet}}{R_H^3} = \frac{M_\star}{a^3}

得到的希爾球半徑為:


R_H = a \left(\frac{M_{planet}}{M_\star}\right)^{1/3}

相關條目[编辑]

外部鏈結[编辑]

參考資料[编辑]