帕普斯定理

帕普斯定理

设U，V，W，X，Y和Z为平面上六条直线。如果：

（1）U与V的交点，X与W的交点，Y与Z的交点共线，且

（2）U与Z的交点，X与V的交点，Y与W的交点共线，

则（3）U与W的交点，X与Z的交点，Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯定理。

也就是说，
如果

$\langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle = 0$

且

$\langle U \times Z, X \times V, Y \times W \rangle = 0$

则

$\langle U \times W, X \times Z, Y \times V \rangle = 0.$

证明

设

$\alpha = \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle$

$\beta = \langle U \times Z, X \times V, Y \times W \rangle$

$\gamma = \langle U \times W, X \times Z, Y \times V \rangle$

我们需要证明如果$\alpha$ = 0且$\beta$ = 0，则$\gamma$ = 0。

第一步

利用恒等式

$\langle A,B,C\rangle = \langle C,A,B\rangle = \langle B,C,A\rangle$

可将$\alpha$、$\beta$及$\gamma$表述为以下形式：

$\alpha = \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle$

$\beta = \langle Y \times W, U \times Z, X \times V \rangle$

$\gamma = \langle X \times Z, Y \times V, U \times W \rangle$

第二步

利用恒等式

$\langle A,B,C\rangle = A \cdot (B \times C)$

$A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C$

可得

$\alpha = (U \times V) \cdot ((X \times W) \times (Y \times Z))$

$\beta = (Y \times W) \cdot ((U \times Z) \times (X \times V))$

$\gamma = (X \times Z) \cdot ((Y \times V) \times (U \times W))$

以及

$\alpha = (U \times V) \cdot (\langle X,W,Z\rangle Y - \langle X,W,Y\rangle Z)$

$\beta = (Y \times W) \cdot (\langle U,Z,V\rangle X - \langle U,Z,X\rangle V)$

$\gamma = (X \times Z) \cdot (\langle Y,V,W\rangle U - \langle Y,V,U\rangle W)$

第三步

利用数量积的分配律，可得：

$\alpha = \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle - \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle$

$\beta = \langle U,Z,V\rangle \langle Y,W,X\rangle - \langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle$

$\gamma = \langle Y,V,W\rangle \langle X,Z,U\rangle - \langle Y,V,U\rangle \langle X,Z,W\rangle$

第四步

利用恒等式

$\langle A,B,C\rangle = \langle C,A,B\rangle = \langle B,C,A\rangle$

$\langle A,B,C\rangle = -\langle A,C,B\rangle = -\langle C,B,A\rangle = -\langle B,A,C\rangle$

可得：

$\alpha = \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle - \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle$

$\beta = -\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle + \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle$

$\gamma = \langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle - \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle$

第五步

把这些等式相加，得：

$\alpha + \beta + \gamma = 0$

$\gamma = -(\alpha + \beta)$

因此，如果$\alpha$ = 0且$\beta$ = 0，则$\gamma$ = 0。

证毕。

参见

• 布列安桑定理
• 帕斯卡定理
• 笛沙格定理

外部連結

• （中文）耐人寻味的帕普斯（Pappus）定理--谢国芳（Roy Xie）