帕累托分布

帕累托分布

機率 密度 函數
累積分布函數
參數	{{{parameters}}}
值域	$x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!$
概率密度函数	$\frac{k\,x_\mathrm{m}^k}{x^{k+1}}\!$
累積分布函數	$1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k\!$
期望值	$\frac{k\,x_\mathrm{m}}{k-1}\!$，k > 1
中位數	$x_\mathrm{m} \sqrt[k]{2}$
眾數	$x_\mathrm{m}\,$
方差	$\frac{x_\mathrm{m}^2k}{(k-1)^2(k-2)}\!$，k > 2
偏態	$\frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\!$，k > 3
峰態	$\frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\!$，k > 4
熵值	$\ln\left(\frac{k}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{k} - 1\!$
動差生成函數	未定义
特徵函數	$k(-ix_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-ix_\mathrm{m}t)\,$

帕累托分布是以意大利经济学家维弗雷多·帕雷托命名的。 是从大量真实世界的现象中发现的幂次定律分布。这个分布在经济学以外，也被称为布拉德福分布。

在帕累托分布中，如果X是一个随机变量， 则X的概率分布如下面的公式所示：

${\rm P}(X>x)=\left(\frac{x}{x_{\min}}\right)^{-k}$

其中x是任何一个大于x_min的数，x_min是X最小的可能值（正数），k是为正的参数。帕累托分布曲线族是由两个数量参数化的：x_min和k。分布密度则为

$p(x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & \mbox{if }x x_{\min}. \end{matrix} \right.$

帕累托分布属于连续概率分布。 “吉普夫定律”, 也称为“zeta 分布”, 也可以被认为是在离散概率分布中的帕累托分布。 一个遵守帕累托分布的随机变量的期望值为 $x_{\min} \; k \over k-1$ (如果 $k \leq 1$, 期望值为无穷大) 且随机变量的标准差为 ${x_{\min} \over k-1} \sqrt{k \over k-2}$ (如果 $k \leq 2$, 标准差不存在)。

被认为大致是帕累托分布的例子有：

• 在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之前，财富在个人之间的分布。
• 甚至在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之后，财富在个人之间的分布。
• 人类居住区的大小
• 对维基百科条目的访问
• 接近绝对零度时，爱因斯坦凝聚的团簇
• 在互联网流量中文件尺寸的分布
• 油田的石油储备数量
• 龙卷风带来的灾难的数量

参见

• 帕累托法则
• 帕累托插值

外部连接

William J. Reed: 帕累托，吉普夫和其他幂次定律