幂函数

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幂函数图像

幂函数英语Power function)是形如f(x)=xa的函数,a可以是自然数有理数,也可以是任意实数复数

自然数幂[编辑]

自然数幂函数xn的定义为自变量自乘n次,如

x^3 \equiv x \times x \times x

有理数幂[编辑]

形如

f(x) = x^\frac{1}{n}

的幂函数定义为

f(x) = x^n

的多值反函数。但实际上,我们还是只取主值。

无理数幂[编辑]

无理数幂可以由有理数列逼近得到

复数幂[编辑]

扩大的幂函数定义为

x^a \equiv e^{a \cdot \ln x}

为一个多值函数

幂函数图像[编辑]

上至下:x1/8x1/4x1/2x1x2x4x8

一般地,形如y=xa(a为常数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x0 y=x1、y=x2、y=x-1(注:y=x-1=1/x y=x0时x≠0)等都是幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的,而对于a取无理数时,初学者则不大容易理解了。因此,在初等函数里,我们不要求掌握指数为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。 中文名幂函数 外文名power function 分 类数学 定 义形如y=x^a(a为常数)的函数 目录 1性质 ▪ 取正值 ▪ 取负值 ▪ 取零 2特性 3定义域和值域 4特殊情况 1性质 编辑

幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 取正值

当α>0时,幂函数y=xa有下列性质: a、图像都经过点(1,1)(0,0); b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数; c、在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大;0<α<1时,导数值逐渐减小,趋近于0; 取负值

当α<0时,幂函数y=xa有下列性质: a、图像都通过点(1,1); b、图像在区间(0,+∞)上是减函数; c、在第一象限内,有两条渐近线,自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0。 取零

当a=0时,幂函数y=xa有下列性质: a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。(00没有意义) 2特性 编辑

对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数(即p、q互质),q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数a是负整数时,设a=-k,则y=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: a小于0时,x不等于0; a的分母为偶数时,x不小于0; a的分母为奇数时,x取R。 3定义域和值域 编辑

当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下: 如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据a的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数, 则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;2.如果同时a为奇数,则函数的定义域为所有非零实数。 当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下: 1.在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。 2. 在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数,0才进入函数的值域。 4特殊情况 编辑

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到: (1)所有的图形都通过(1,1)这点.(a≠0) a>0时 图象过点( 特殊性(2):幂函数的单调区间 特殊性(2):幂函数的单调区间 0,0)和(1,1)。 (2)单调区间: 当a为整数时,a的正负性和奇偶性决定了函数的单调性: ①当a为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增; ②当a为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增; ③当a为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能 幂函数的单调区间(当a为分数时) 幂函数的单调区间(当a为分数时) 说在定义域R内单调递减); ④当a为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。 当a为分数时,a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性: ①当a>0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递增; ②当a>0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递增; ③当a<0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递减; ④当a<0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减); (3)当a>1时, 幂函数图形下凸(竖抛);当0<a<1时,幂函数图形上凸(横抛)。当a<0时,图像为双曲线。 (4)在(0,1)上,幂函数中a越大,函数图像越靠近x轴;在(1,﹢∞)上幂函数中a越大,函数图像越远离x轴。 (5)当a<0时,a越小,图形倾斜程度越大。 (6)显然幂函数无界限。 (7)a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}。