幂集公理

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数学中,幂集公理公理化集合论Zermelo-Fraenkel 公理之一。

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中,这个公理读做:

\forall A, \exists\; {\mathcal{P}(A)}, \forall x: x \in {\mathcal{P}(A)} \iff (\forall y: y \in x \implies y \in A)

或简写为:

\forall A, \exists\; {\mathcal{P}(A)}, \forall x: x \in {\mathcal{P}(A)} \iff x \subseteq A

换句话说:

给定任何集合 A有着一个集合 \mathcal{P}(A) 使得,给定任何集合 BB\mathcal{P}(A) 的成员,当且仅当 BA 的子集。

通过外延公理可知这个集合是唯一的。 我们可以称集合 \mathcal{P}(A)A幂集。所以这个公理的本质是:

所有集合都有一个幂集。

幂集公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价命題出现在所有可替代的集合论的公理化中。

推论[编辑]

幂集公理允许定义两个集合 XY笛卡儿积:

 X \times Y = \{ (x, y) : x \in X \land y \in Y \}

笛卡儿积是个集合因为

 X \times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))

你可以递归定义集合的任何有限搜集的笛卡儿积:

 X_1 \times \cdots \times X_n = (X_1 \times \cdots \times X_{n-1}) \times X_n

注意笛卡儿积的存在性在不包含幂集公理的 Kripke-Platek 集合论英语Kripke–Platek set theory中是可证明的。

引用[编辑]

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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注释[编辑]