幂零元

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在抽象代数中,某个环R的一个元素x是一个幂零元,当且仅当存在一个正整数n,使得xn等于加法中的零元素。

例子[编辑]

  • 首先来看一个矩阵 中的例子。在3阶方阵中,矩阵:
A = \begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0\end{pmatrix}
是一个幂零元,因为A3 = 0。
  • 商环 Z/9Z中,同余类3是一个幂零元,因为32 是同余类0。
  • 如果在不交换的环R中,a,b满足ab=0。那么元素c=ba(如果非零的话)是一个幂零元,因为c2=(ba)2=b(ab)a=0。在矩阵中的一个例子是:
A_1 = \begin{pmatrix}
0&1\\
0&1
\end{pmatrix}, \;\;
A_2 =\begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix} \ .
于是有  A_1A_2=0,\; (A_2A_1)^2=0 .


性质[编辑]

在一个非平凡的交换环中,幂零元不可能是乘法的可逆元。每个幂零元显然都是零因子

在交换环中,所有的幂零元组成一个理想,称作这个环的诣零根en:nilradical)。每个素理想都包含所有的幂零元,实际上,所有素理想的交集就是环的诣零根

如果x是幂零元,那么1 − x就是一个可逆元,因为由xn = 0 可得

(1 − x) (1 + x + x2 + ... + xn−1) = 1 − xn = 1。

一个域上的n阶方阵是幂零元,当且仅当它的特征多项式等于 t^n

参见[编辑]