幂零矩阵

幂零矩阵是一个n×n的方块矩阵M，满足以下等式：

$M^q = 0\,$

对于某个正整数q。类似地幂零变换是一个线性变换L，满足$L^q = 0$对于某个整数q。

幂零矩阵是幂零元──一个更加一般的概念的特殊情况，不仅可以应用于矩阵和线性变换，也可以应用于环的元素。

例子

考虑以下的矩阵：

$N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

这是一个4×4的幂零矩阵的例子（实际上，这种形式的矩阵称为转移矩阵）。注意非零的超对角线。这个矩阵的特征为：

$N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ;\ N^3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ;\ N^4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

超对角线不断向右上角“移动”，直到完全消失，得到零矩阵。

对应的幂零变换L : R⁴ → R⁴由下式定义：

$L(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_2,x_3,x_4,0). \,$

有一个分类定理证明这是典型的：幂零矩阵与分块矩阵是相似的，其对角线上的区块推广了这种类型，而其它区块为零。

性质

设M为n×n的幂零矩阵。

• 满足M^q = 0的最小整数q小于或等于n。
• 在代数封闭域上，矩阵M是幂零的，当且仅当它的所有特征值为零。因此，M的行列式和迹数都为零，所以幂零矩阵不是可逆的。
• 假设A和B是两个矩阵。如果A是可逆矩阵，则$A^{-1} B$是幂零矩阵，当且仅当$\det(A+tB)$与t无关。这是因为：

$\det(A+tB)=\det A \cdot \det (I+t A^{-1}B)=\det A \cdot \prod_k (1+\lambda_k t)$

其中$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$是$A^{-1}B$的特征值。

• M的特征多项式为λⁿ。
• 每一个严格的上三角矩阵或下三角矩阵都是幂零矩阵。
• 每一个奇异矩阵都可以写成若干个幂零矩阵的乘积。

分类定理

以上的例子是典型的，这是因为以下的结果。每一个幂零矩阵都与以下的分块矩阵相似：

$\begin{bmatrix} N_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & N_2 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & N_3 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & N_k \end{bmatrix}$

其中区块$N_i$在超对角线上为一，在其它地方为零：

$N_i = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

这可以从若尔当标准形，以及每一个与幂零矩阵相似的矩阵也是幂零的事实推出。

外部链接

• PlanetMath上的幂零矩阵和幂零变换。