平凡 (數學)

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数学中,术语“平凡”(“平凡的”)经常用于结构非常简单的对象(比如拓扑空间),有時亦會用明顯乏趣這兩個詞代替,但对非数学工作者来说,它们有时可能比其他更复杂的对象更难想象或理解。

例如:

平凡解[编辑]

“平凡” 也用于一个方程具有非常简单的结构的解,但是为了完整性不能省略。这种解称为平凡解。例如,考虑微分方程

y'=y

这里 y = f(x) 为函数,其导数y′。

y = 0,0 函数是平凡解;
y (x) = ex指数函数是一个非平凡解。

类似地,数学家经常将费马大定理描述为方程 a^n + b^n = c^nn > 2 没有非平凡解。 显然,这个方程确实有解。比如 a=b=c=0 对任何 n 都是解,a = 1, b = 0, c = 1 也一样。但是这种解是显然的和无趣的,从而称为“平凡”。

數學推理[编辑]

平凡也经常指证明中容易的情形,为了完整性而不能省略。比如,数学归纳法证明分为两部分:“奠基步驟”是对一个特殊起始值比如 n = 0 或 n = 1 证明定理;然后归纳步骤证明如果定理对特定值 n 成立,那么对 n+1 也成立。奠基情形经常是显然的。(但是,也有归纳步骤是平凡的而奠基情形却困难的例子。关于多项式的定理经常是这种类型,证明对变元的个数用归纳法。证明如果系数环 A 是唯一分解整环那么 A[X1,...,Xn] 是唯一分解整环,归纳步骤只要简单的写成 A[X1,...,Xn] = A[X1,...,Xn-1][Xn],而一个变元的奠基情形是困难的。)类似地,我们可能想证明某种性质对一个集合中所有元素都成立。证明的主要考虑非空集合,详细检验其元素是否具有該性質;但如果集合是空集,則性质对其所有元素都成立,因为没有元素需要檢驗。(参见en:Vacuous truth

数学界一个常见的笑话是说“平凡”和“被证明了的”是同义词——这就是说,任何定理如果已知成立就可以认为是“平凡”的。另一个笑话是关于两个数学家讨论一个定理。第一个数学家说某个定理是“平凡的”。另一个要求一个解释,然后他进行了 20 分钟的解说。解说完了之后,第二个数学家同意这个定理是平凡的。这个笑话指出对平凡性判断的主观性。举个例子,对微积分很熟练的人,会认为这个定理

\int_0^1 x^2\, dx = 1/3

是平凡的。但对一个初学者来说,可能一点也不显然。

值得注意的是,平凡性也取决于语境。泛函分析中的证明可能会给出一个数,平凡地假设存在这样的大数。在初等数论中证明自然数的基本结论时,证明也许會與「每個自然数都有一个后继」習習相關,但此點需加以證明,或者将其作为一个公理