平均曲率

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微分几何中,一个曲面  S平均曲率mean curvatureH,是一个“外在的”弯曲测量标准,局部地描述了一个曲面嵌入周围空间(比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间)的曲率。

这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入[1][2]

定义[编辑]

p 是曲面 S 上一点,考虑 S 上过 p 的所有曲线 C_i 。每条这样的 C_ip 点有一个伴随的曲率 K_i。在这些曲率 K_i 中,至少有一个极大值 \kappa_1极小值 \kappa_2,这两个曲率 \kappa_1,\kappa_2 称为 S主曲率

p\in S平均曲率是两个主曲率的平均值(斯皮瓦克 1999,第3卷,第2章),由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值[3],故有此名。

H = {1 \over 2} (\kappa_1 + \kappa_2)\ .

利用第一基本形式第二基本形式的系数,平均曲率表示为:

H =\frac{LG-2MF+NE}{2(EG-F^2)}\ ,

这里 E, F, G 是第一基本形式的系数,L, M, N 为第二基本形式的系数。

平均曲率可推广为更一般情形 (斯皮瓦克 1999,第4卷,第7章),一个超曲面 T 的平均曲率为:

H=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \kappa_{i}\ .

更抽象地说,平均曲率是第二基本形式(或等价地,形算子)的 \times\frac{1}{n}

另外,平均曲率 H 可以用共变导数 \nabla 写成

H\vec{n} = g^{ij}\nabla_i\nabla_j X\ ,

这里利用了高斯-Weingarten 关系, X(x,t) 是一族光滑嵌入超曲面,\vec{n} 为单位法向量,而 g_{ij}度量张量

一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外,平面  S 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。

3 维空间中曲面[编辑]

对 3 维空间中的曲面,平均曲率与曲面的单位法向量相关:

2 H = \nabla \cdot \hat n\ ,

这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向:如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立,只要能够计算单位法向量的散度

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面,比如 z = S(x, y),使用向下的法向量平均曲率(的两倍)表示为

\begin{align}2 H & = \nabla \cdot \left(\frac{\nabla(S - z)}{|\nabla(S - z)|}\right) \\
& = \nabla \cdot \left(\frac{\nabla S}{\sqrt{1 + (\nabla S)^2}}\right) \\
& = 
\frac{
\left(1 + \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2\right) \frac{\partial^2 S}{\partial y^2} - 
2 \frac{\partial S}{\partial x} \frac{\partial S}{\partial y} \frac{\partial^2 S}{\partial x \partial y} + 
\left(1 + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2\right) \frac{\partial^2 S}{\partial x^2}
}{\left(1 + \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2\right)^{3/2}}.
\end{align}

如果曲面还是轴对称的,满足 z = S(r),则

2 H = \frac{\frac{\partial^2 S}{\partial r^2}}{\left(1 + \left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^2\right)^{3/2}} + \frac{\frac{\partial S}{\partial r}}{r \left(1 + \left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^2\right)^{1/2}}\ .

流体力学[编辑]

流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2:

H_f = (\kappa_1 + \kappa_2)\ .

这出现于杨-拉普拉斯方程中,平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 H_f;两个曲率等于小滴半径的倒数 \kappa_1 = \kappa_2 = r^{-1}

极小曲面[编辑]

Costa 极小曲面示意图

一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链曲面螺旋面Scherk 曲面Enneper 曲面。新近发现的包括 Costa 极小曲面Costa's minimal surface,1982年)与 GyroidGyroid,1970年)。

极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面,球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf 的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面;如果允许自交,则存在平均曲率为非零常数的闭曲面,Wente 在1986年曾构造出这样的自交环面(陈维桓 2006,4.6节)。

参见[编辑]

注释[编辑]

参考文献[编辑]