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平均自由程

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气体分子平均自由程英语Mean free path)指气体分子两次碰撞之间的时间内经过的路程的统计平均值,一般用\overline{\lambda}\,表示。例如,在20下、标准大气压(101 KPa)下,氮气分子的平均自由程约为60纳米

理想气体分子运动示意图

理想气体分子两次碰撞之间做匀速直线运动,类似分子的平均碰撞频率,每两次碰撞之间的路程是由气体分子的自身状态决定的。气体分子的平均自由程与分子的直径或半径、分子数密度成反比。

历史[编辑]

鲁道夫·克劳修斯早在1857年就引入了平均自由程的概念。后来詹姆斯·麦克斯韦在1859年推导出麦克斯韦速度分布律后,推导出了气体分子平均自由程的更为准确的计算公式。[1]

推导[编辑]

分子碰撞截面[编辑]

分子之间发生碰撞,但大多数情况并非发生对心碰撞。两个碰撞的分子根据两者发生碰撞瞬间“对心”的情况,所产生的方向偏离不同。当入射分子的方向和目标分子的质心的垂直距离大于某一确定值时,就不再发生速度偏离。这时的“某一确定值”称为分子有效直径d\,。定义分子碰撞截面\sigma\,,即在这个圆形截面之外的范围射入的分子都不会发生速度方向偏离。关于这个截面,有以下方程:

\sigma = \pi d^2\,

气体分子间的平均碰撞率[编辑]

单位时间内气体分子发生的碰撞次数称为平均碰撞频率,一般用\overline{Z}\,表示,实验结果表示,有以下方程:

\overline{Z} = n \sigma v_{rel}\,

其中,n是气体分子的分子数密度,v_{rel}\,是碰撞的相对速率。

由於入射分子和目标分子都在移动,不能够只考虑入射分子的移动速率,必需考虑入射分子对於目标分子的相对速率。如果是同种气体分子,则平均相对速率为

v_{rel}= \sqrt{2} \overline{v}\,

其中,\overline{v}\,是气体分子平均速率。

气体分子的平均自由程的推导[编辑]

设分子平均速率为\overline{v}\,,则它在t\,时间内走过的平均路程为\overline{v}t\,;另外,在这段时间内分子发生的平均碰撞次数为\overline{Z}t\,,故由:

\overline{\lambda} = \frac{\overline{v}t}{\overline{Z}t}\,

当为同种气体分子时,得到

\overline{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{2} n \sigma}\,

应用理想气体定律,可以得到

\overline{\lambda} = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \sigma p}\,

其中,k_B\,玻尔兹曼常量T\,温度p\,压强

自由程的分布[编辑]

平均自由程分布示意图

平均自由程从x\,到无穷大的分子占分子总数的比例为:

\frac{N}{N_0} = exp(-\frac{x}{\overline{\lambda}})\,

平均自由程在x\,x+dx\,范围内的分子占分子总数的比例为:

-\frac{dN}{N_0} = \frac{1}{\overline{\lambda}}exp(-\frac{x}{\overline{\lambda}})dx\,

以上两式中,N_0\,是碰撞分子总数,\overline{\lambda}\,是平均自由程。

相关条目[编辑]

延伸阅读[编辑]

  • David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons. : pp. 515–516. ISBN 978-0471105589 (英文). 
  • 赵凯华,罗蔚茵. 《新概念物理教程-热学》. 高等教育出版社. ISBN 978-7040176803 (中文(中国大陆)‎). 

参考文献[编辑]

  1. ^ 秦允豪. 《热学》. 高等教育出版社. : 134页. ISBN 978-7-04-013790-3.