平坦模

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抽象代數中,一個 R 上的平坦模是一個 R- M,使得函子 - \otimes_R M 保持序列的正合性;若此函子還是忠實函子,則稱之為忠實平坦模

上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部諾特環上的有限生成模,平坦性、射影性與自由性三者等價。

塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降,平坦性便在同調代數代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深,詳見條目平坦態射

交換環的情形[编辑]

R 為交換環,一個 R-模的平坦性等價於 N \mapsto N \otimes_R M 是個從 R-模到R-模之正合函子

將環 R 對一個積性子集 S局部化 S^{-1}R 視作 R-模,則它是平坦的。

R諾特環M 是有限生成 R-模時,平坦性在下述意義等價於局部自由模M 是平坦 R-模若且唯若對任何素理想 \mathfrak{p},局部化 M_\mathfrak{p} 是自由 R_\mathfrak{p}-模。事實上,對條件中的 \mathfrak{p} 僅須考慮極大理想即可。

一般的環[编辑]

R 非交換時的定義須作如下修改:假設 M 是左 R-模,則稱之左平坦模,若且唯若對 M 的張量積將右 R-模的正合序列映至阿貝爾群的正合序列。

環上的張量積總是右正合函子,所以左 R-模 M 是平坦模的充要條件是:對任何右 R-模的單射 K \rightarrow L,取張量積後的同態 K \otimes_R M \rightarrow L \otimes_R M 仍為單射。

極限[编辑]

一般來說,平坦模的歸納極限仍是平坦模;此陳述可由 - \otimes_R M\mathrm{Hom}_R(M, -) 的伴隨性質形式地推出。平坦模的子模與商模不一定是平坦模,然而我們有下述定理:一個平坦模的同態像是平坦模,若且唯若其核為純子模

Lazard 在1969年證明了:模 M 平坦的充要條件是它可表成有限生成自由模的歸納極限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一個阿貝爾群是平坦 \mathbb{Z}-模的充要條件是其中沒有撓元。

同調代數[编辑]

與Tor函子的關係[编辑]

平坦性也可以用Tor函子的消沒性表示。Tor函子是張量積的左導函子。一個左 R-模 M 的平坦性等價於 n \geq 1 \Rightarrow \mathrm{Tor}_n^R(-, M)=0;類此,一個右 R-模 N 的平坦性等價於 n \geq 1 \Rightarrow \mathrm{Tor}_n^R(N,-)=0。藉Tor函子的長正合序列可以導出下列關於基本性質:

考慮短正合序列

 0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0
  • A, C 平坦,則 B 亦然。
  • B, C 平坦,則 A 亦然。
  • A, B 平坦,C 不一定平坦;若假設 AB純子模B 平坦,則可推出 AC 皆平坦。

局部判準[编辑]

R 為交換環,I \subset R 為一理想,則我們有下述平坦性的局部判準

定理(Bourbaki). 以下諸條件等價:

  1. M 是平坦 R-模。
  2. R/I \otimes_R M 是平坦 R/I-模,且 \mathrm{Tor}^R_1(M, R/I)=0
  3. R/I \otimes_R M 是平坦 R/I-模,且典範同態 I \otimes_R M \rightarrow IM 為同構。
  4. 對所有 R-模 N,有 IN=0 \Rightarrow \mathrm{Tor}^R_1(M,N)=0
  5. 對所有 R-模 N,有 \exists s \in \mathbb{N} \; I^sN=0 \Rightarrow \mathrm{Tor}^R_1(M,N)=0
  6. 對所有 s \in \mathbb{N}R/I^s \otimes_R M 是平坦 R/I^s-模。
  7. R/I \otimes_R M 是平坦 R/I-模,且典範態射 \gamma: \mathrm{gr}_I^0(M) \otimes_{R/I} \mathrm{gr}_I^\bullet (A) \rightarrow \mathrm{gr}_I^\bullet (M) 為同構。

此判準在代數幾何中的用途尤大。

平坦分解[编辑]

一個模 M平坦分解是如下形式的正合序列:

\cdots \rightarrow F_i \rightarrow F_{i-1} \rightarrow \cdots \rightarrow F_0 \rightarrow M \rightarrow 0

使得其中每個 F_i 都是平坦模。

任何射影分解都是平坦分解。

忠實平坦模[编辑]

一個 R-模 M 被稱作忠實平坦的,若且唯若 - \otimes_R M 是個忠實的正合函子。這也就是說:

  1. M 是個平坦 R-模。
  2. 典範映射 \mathrm{Hom}_R(N_1, N_2) \rightarrow \mathrm{Hom}(N_1 \otimes_R M, N_2 \otimes_R M) 是單射。

R 為交換環時,有以下幾種等價的刻劃:

  • M 是忠實平坦的。
  • M 是平坦的,且  N \otimes_R M=0 \Rightarrow N=0
  • M 是平坦的,且對所有極大理想 \mathfrak{m} \subset R 都有 R/\mathfrak{m} \otimes_R M \neq 0
  • 一個序列 N_\bullet 正合,若且唯若 N_\bullet \otimes_R M 正合。

文獻[编辑]

  • Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
  • Eisenbud, David. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. New York: Springer-Verlag. 1995: xvi+785. ISBN 0-387-94268-8.