平方数

$y=x^2$ 的圖像。

数学上，平方数，或称完全平方数，是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如，9 = 3 × 3，它是一个平方数。

平方数也称正方形数，若 n 为平方数，将 n 个点排成矩形，可以排成一个正方形。

若将平方数概念扩展到有理数，则两个平方数的比仍然是平方数，例如， (2 × 2) / (3 × 3) = 4/9 = 2/3 × 2/3。

若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因數，则称其为无平方数因数的数。

举例

最小的51个平方数为（OEIS中的数列A000290）：

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

表达式

一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形的点阵，使得每行每列的点都一样多。

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25

• 通项公式

对于一个整数 n，它的平方写成 n²。n²等于头 n 个正奇数的和（$n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1)$）。在上图中，从1开始，第 n 个平方数表示为前一个平方数加上第 n 个正奇数，如 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9。即第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数：9。

• 递归公式

每个平方数可以从之前的两个平方数计算得到，递推公式为 $n^2 = 2(n-1)^2-(n-2)^2+2$。例如，2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6²。

• 连续整数的和

平方数还可以表示成 n² = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如，4² = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列，即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的平方数非常有用。例如， 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

性质

• 一个平方数是两个相邻三角形數之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形數。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。

• 四平方和定理說明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4^k(8m + 7) 的数。若一个正整数可以表示因數中没有形如 4k + 3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。

• 在十进制中，平方数只能以 00，1，4，6，9 或 25 结尾：

1. 若一个数以 0 结尾，它的平方数以 00 结尾，且其他数字也构成一个平方数
2. 若一个数以 1 或 9 结尾，它的平方数以 1 结尾，且其他数字构成的数能被 4 整除
3. 若一个数以 2 或 8 结尾，它的平方数以 4 结尾，且其他数字构成一个偶数
4. 若一个数以 3 或 7 结尾，它的平方数以 9 结尾，且其他数字构成的数能被 4 整除
5. 若一个数以 4 或 6 结尾，它的平方数以 6 结尾，且其他数字构成一个奇数
6. 若一个数以 5 结尾，它的平方数以 25 结尾，且前面的一位或两位数字数字必定为 0，2，06，56 之一

• 每4个连续的自然数相乘加 1，必定会等於一个平方数，即 a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 = (a² + 3a + 1)²。

• 平方数必定不是完全数。

• 平方數必定是3的倍數或者3的倍數+1。

• 平方數必定是4的倍數或者4的倍數+1。
• 是否在相继正方形数之间存在一个素数这一命题，对9000000以内的数目是正确的。

參看

• 平方
• 立方數-平方數在立體的推廣
• 三角形数
• 三角平方數-同時為三角形數和平方數的數
• 多邊形數